Упр.634 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

В тетраэдре $$ABCD$$ точки $$M$$ и $$N$$ являются соответственно точками пересечения медиан граней $$ADB$$ и $$BDC$$. Докажите, что $$MN \parallel AC$$, и найдите отношение длин этих отрезков.

Пусть $$E$$ — середина ребра $$BD$$. Тогда, так как $$M$$ и $$N$$ — точки пересечения медиан граней $$ADB$$ и $$BDC$$, имеем: $$M \in AE$$ и $$N \in CE$$.

Для медиан треугольников получаем:

$$\overrightarrow{AE}=3\overrightarrow{ME}, \qquad \overrightarrow{EC}=3\overrightarrow{EN}.$$

Тогда

$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EC} =3\overrightarrow{ME}+3\overrightarrow{EN} =3\left(\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{EN}\right) =3\overrightarrow{MN}.$$

Следовательно, векторы $$\overrightarrow{AC}$$ и $$\overrightarrow{MN}$$ коллинеарны, значит, $$MN \parallel AC$$.

Из равенства $$\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{MN}$$ следует, что

$$\frac{MN}{AC}=\frac{1}{3}.$$

Ответ: $$MN \parallel AC,\quad \frac{MN}{AC}=\frac{1}{3}.$$