Упр.633 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. В тетраэдре \(ABCD\) точка \(M\) — середина ребра \(BC\). Выразите через векторы $$b=AB$$, $$c=AC$$ и $$d=AD$$ следующие векторы: $$BC$$, $$CD$$, $$DB$$ и $$DM$$.

Обозначим $$\overrightarrow{AB}=\mathbf b,\quad \overrightarrow{AC}=\mathbf c,\quad \overrightarrow{AD}=\mathbf d.$$ Тогда

1. $$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\mathbf c-\mathbf b.$$

2. $$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=\mathbf d-\mathbf c.$$

3. $$\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}=\mathbf b-\mathbf d.$$

4. Так как $$M$$ — середина ребра $$BC$$, то

   $$\overrightarrow{CM}=\frac12\,\overrightarrow{CB},$$

   а значит

   $$\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{DC}+\frac12\,\overrightarrow{CB}.$$

   Подставим найденные векторы:

   $$\overrightarrow{DC}=-\overrightarrow{CD}=\mathbf c-\mathbf d,\qquad \overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{BC}=\mathbf b-\mathbf c.$$

   Тогда

   $$\overrightarrow{DM}=(\mathbf c-\mathbf d)+\frac12(\mathbf b-\mathbf c) =\frac12\mathbf b+\frac12\mathbf c-\mathbf d.$$

Ответ: $$\overrightarrow{BC}=\mathbf c-\mathbf b,\quad \overrightarrow{CD}=\mathbf d-\mathbf c,\quad \overrightarrow{DB}=\mathbf b-\mathbf d,\quad \overrightarrow{DM}=\frac12\mathbf b+\frac12\mathbf c-\mathbf d.$$