Упр.632 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что если точки пересечения медиан треугольников $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ совпадают, то прямые $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ параллельны некоторой плоскости.

Подробный ответ

Обозначим через $$\vec x=\overrightarrow{AA_1},\quad \vec y=\overrightarrow{BB_1},\quad \vec z=\overrightarrow{CC_1}.$$

Пусть $$O$$ — произвольная точка пространства. Тогда для точки пересечения медиан треугольника $$ABC$$ имеем

$$\overrightarrow{OM}=\frac13\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right).$$

С другой стороны, так как $$M$$ — точка пересечения медиан и для треугольника $$A_1B_1C_1$$, то

$$\overrightarrow{A_1M}=\frac13\left(\overrightarrow{A_1B}+\overrightarrow{A_1C}\right),\quad \overrightarrow{B_1M}=\frac13\left(\overrightarrow{B_1C}+\overrightarrow{B_1A}\right),\quad \overrightarrow{C_1M}=\frac13\left(\overrightarrow{C_1A}+\overrightarrow{C_1B}\right).$$

Сложим эти векторы:

$$\overrightarrow{A_1M}+\overrightarrow{B_1M}+\overrightarrow{C_1M} =\frac13\Bigl(\overrightarrow{A_1B}+\overrightarrow{A_1C}+\overrightarrow{B_1C}+\overrightarrow{B_1A}+\overrightarrow{C_1A}+\overrightarrow{C_1B}\Bigr).$$

Но, поскольку $$M$$ — общая точка пересечения медиан обоих треугольников, то

$$\overrightarrow{A_1M}+\overrightarrow{B_1M}+\overrightarrow{C_1M}=\vec 0.$$

Выразим входящие в сумму векторы через $$\vec x,\vec y,\vec z$$ и векторы сторон треугольника:

$$\overrightarrow{A_1B}=-\vec x+\overrightarrow{AB},\quad \overrightarrow{A_1C}=-\vec x+\overrightarrow{AC},$$

$$\overrightarrow{B_1C}=-\vec y+\overrightarrow{BC},\quad \overrightarrow{B_1A}=-\vec y+\overrightarrow{BA},$$

$$\overrightarrow{C_1A}=-\vec z+\overrightarrow{CA},\quad \overrightarrow{C_1B}=-\vec z+\overrightarrow{CB}.$$

Подставим:

$$\vec 0=\frac13\Bigl(-2\vec x-2\vec y-2\vec z+\bigl(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}\bigr)+\bigl(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}\bigr)+\bigl(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB}\bigr)\Bigr).$$

Так как $$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\vec 0,$$ $$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}=\vec 0,$$ $$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB}=\vec 0,$$ получаем

$$\vec x+\vec y+\vec z=\vec 0.$$

Следовательно,

$$\vec z=-\vec x-\vec y,$$

то есть векторы $$\vec x,\vec y,\vec z$$ линейно зависимы. Значит, они компланарны, а прямые $$AA_1,$$ $$BB_1,$$ $$CC_1$$ параллельны одной и той же плоскости.

Ответ: прямые $$AA_1,$$ $$BB_1$$ и $$CC_1$$ параллельны некоторой плоскости.