Упр.632 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Докажите, что если точки пересечения медиан треугольников ABC и A1B1C1 совпадают, то прямые AA1, BB1 и CC1 параллельны некоторой плоскости.

Подробный ответ

Пусть $$O$$ — произвольная точка пространства, а

$$\overrightarrow{AA_1}=\vec x,\qquad \overrightarrow{BB_1}=\vec y,\qquad \overrightarrow{CC_1}=\vec z.$$

Обозначим через $$M$$ общую точку пересечения медиан треугольников $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$.

Так как точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении $$2:1$$, то для треугольника $$ABC$$ имеем

$$\overrightarrow{OM}=\frac13\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right).$$

Аналогично, для треугольника $$A_1B_1C_1$$:

$$\overrightarrow{OM}=\frac13\left(\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OB_1}+\overrightarrow{OC_1}\right).$$

Вычтем из этих равенств одно другое:

$$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OB_1}+\overrightarrow{OC_1}.$$

Но

$$\overrightarrow{OA_1}=\overrightarrow{OA}+\vec x,\qquad \overrightarrow{OB_1}=\overrightarrow{OB}+\vec y,\qquad \overrightarrow{OC_1}=\overrightarrow{OC}+\vec z.$$

Подставим:

$$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\vec x+\overrightarrow{OB}+\vec y+\overrightarrow{OC}+\vec z,$$

откуда

$$\vec x+\vec y+\vec z=\vec 0.$$

Следовательно, векторы $$\vec x,\vec y,\vec z$$ линейно зависимы, то есть компланарны. Значит, существует плоскость, параллельная всем трём векторам $$\overrightarrow{AA_1},\overrightarrow{BB_1},\overrightarrow{CC_1}$$. Поэтому прямые $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ параллельны одной и той же плоскости.