Упр.631 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. В параллелепипеде $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ диагонали грани $$DCC_1D_1$$ пересекаются в точке $$M$$. Разложите вектор $$\overrightarrow{AM}$$ по векторам $$\overrightarrow{AB}$$, $$\overrightarrow{AD}$$ и $$\overrightarrow{AA_1}$$.

Так как векторы $$\overrightarrow{AB}$$, $$\overrightarrow{AD}$$ и $$\overrightarrow{AA_1}$$ некомпланарны, то любой вектор в параллелепипеде можно разложить по ним.

Точка $$M$$ — середина диагонали грани $$DCC_1D_1$$, значит она является центром этой грани. Тогда, если обозначить через $$E$$ середину ребра $$AA_1$$, через $$K$$ — середину ребра $$AB$$, то

$$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{AD}.$$

Но

$$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AA_1}, \qquad \overrightarrow{AK}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}.$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AA_1}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}.$$

Ответ: $$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AA_1}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}.$$