Упр.631 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 диагонали грани DCC1D1 пересекаются в точке М. Разложите вектор AM по векторам AB, AD и AA1.

Так как векторы $$\overrightarrow{AB}$$, $$\overrightarrow{AD}$$ и $$\overrightarrow{AA_1}$$ некомпланарны, то любой вектор можно разложить по ним.

Точка $$M$$ — это точка пересечения диагоналей грани $$DCC_1D_1$$, значит она является центром этой грани. Поэтому отрезок $$DM$$ равен половине диагонали грани, а вектор $$\overrightarrow{DM}$$ можно представить как сумму половин направлений вдоль ребер $$DC$$ и $$DD_1$$:

$$\overrightarrow{DM}=\frac12\overrightarrow{DC}+\frac12\overrightarrow{DD_1}.$$

Так как в параллелепипеде $$\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{DD_1}=\overrightarrow{AA_1},$$ то

$$\overrightarrow{DM}=\frac12\overrightarrow{AB}+\frac12\overrightarrow{AA_1}.$$

Теперь

$$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DM}.$$

Подставим найденное выражение для $$\overrightarrow{DM}$$:

$$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AD}+\frac12\overrightarrow{AB}+\frac12\overrightarrow{AA_1}.$$

Следовательно, разложение вектора $$\overrightarrow{AM}$$ по векторам $$\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AA_1}$$ имеет вид

$$\overrightarrow{AM}=\frac12\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\frac12\overrightarrow{AA_1}.$$

Ответ

$$\overrightarrow{AM}=\frac12\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\frac12\overrightarrow{AA_1}.$$