Упр.630 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

В параллелепипеде $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ точка $$K$$ — середина ребра $$CC_1$$. Разложите вектор: а) $$AK$$ по векторам $$AB$$, $$AD$$, $$AA_1$$; б) $$DA_1$$ по векторам $$AB_1$$, $$BC_1$$ и $$CD_1$$.

Пусть $$\overrightarrow{AB}=\mathbf{a},\ \overrightarrow{AD}=\mathbf{b},\ \overrightarrow{AA_1}=\mathbf{c}.$$ Тогда

так как $$K$$ — середина ребра $$CC_1,$$ то

$$\overrightarrow{CK}=\frac12\overrightarrow{CC_1}=\frac12\overrightarrow{AA_1}.$$

а) Найдём $$\overrightarrow{AK}$$:

$$\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CK}.$$

В параллелепипеде $$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD},$$ поэтому

$$\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\frac12\overrightarrow{AA_1}.$$

б) Разложим $$\overrightarrow{DA_1}$$ по векторам $$\overrightarrow{AB_1},\ \overrightarrow{BC_1},\ \overrightarrow{CD_1}.$$ Имеем

$$\overrightarrow{DA_1}=\overrightarrow{DC_1}+\overrightarrow{C_1B}+\overrightarrow{BA_1}.$$

Но в параллелепипеде

$$\overrightarrow{DC_1}=\overrightarrow{AB_1},\qquad \overrightarrow{C_1B}=-\overrightarrow{BC_1},\qquad \overrightarrow{BA_1}=\overrightarrow{CD_1}.$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{DA_1}=\overrightarrow{AB_1}-\overrightarrow{BC_1}+\overrightarrow{CD_1}.$$

Ответ: $$\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\frac12\overrightarrow{AA_1},\qquad \overrightarrow{DA_1}=\overrightarrow{AB_1}-\overrightarrow{BC_1}+\overrightarrow{CD_1}.$$