Упр.63 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Параллельные плоскости а и p пересекают сторону AB угла BAC соответственно в точках A1 и A2, а сторону AC этого угла — соответственно в точках B1 и B2. Найдите: а) AA2 и AB2, если A1A2 = 2A,A = 12 см, AB1 = 5 см; б) A2B2 и AA2, если A1B1 = 18 см, AA1 = 24 см, AA2 ^A1A2.

Рассмотрим плоскость $$ABC$$. Так как плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ параллельны, то линии их пересечения с плоскостью $$ABC$$ параллельны:

$$A_1B_1 \parallel A_2B_2.$$

Следовательно, треугольники $$\triangle AA_1B_1$$ и $$\triangle AA_2B_2$$ подобны, поэтому

$$\frac{AA_1}{AA_2}=\frac{A_1B_1}{A_2B_2}=\frac{AB_1}{AB_2}.$$

а) Дано: $$A_1A_2=2\cdot AA_1=12\text{ см}$$, значит

$$AA_1=\frac{1}{2}\cdot 12=6\text{ см}.$$

Тогда

$$AA_2=AA_1+A_1A_2=6+12=18\text{ см}.$$

Из подобия треугольников:

$$\frac{AA_1}{AA_2}=\frac{AB_1}{AB_2}$$

$$\frac{6}{18}=\frac{5}{AB_2}.$$

Отсюда

$$AB_2=15\text{ см}.$$

б) По условию $$AA_2=\frac{3}{2}\,AA_1$$, а $$AA_1=24\text{ см}$$, значит

$$AA_2=\frac{3}{2}\cdot 24=72\text{ см}.$$

Теперь по подобию:

$$\frac{AA_1}{AA_2}=\frac{A_1B_1}{A_2B_2}$$

$$\frac{24}{72}=\frac{18}{A_2B_2}.$$

Отсюда

$$A_2B_2=54\text{ см}.$$

Ответ

а) $$AA_2=18\text{ см},\ AB_2=15\text{ см}.$$

б) $$A_2B_2=54\text{ см},\ AA_2=72\text{ см}.$$