Упр.628 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

В тетраэдре ABCD точка K — середина медианы BB₁ грани BCD. Разложите вектор AK по векторам $$\mathbf a=\overrightarrow{AB},\ \mathbf b=\overrightarrow{AC},\ \mathbf c=\overrightarrow{AD}.$$

Так как $$B_1$$ — середина стороны $$CD$$, то

$$\overrightarrow{CB_1}=\frac12\overrightarrow{CD}, \qquad \overrightarrow{DB_1}=\frac12\overrightarrow{DC}.$$

Удобнее выразить вектор $$\overrightarrow{AB_1}$$ через заданные векторы $$\vec a=\overrightarrow{AB},\ \vec b=\overrightarrow{AC},\ \vec c=\overrightarrow{AD}$$. Поскольку $$B_1$$ — середина $$CD$$, имеем

$$\overrightarrow{AB_1}=\frac12\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\right)=\frac12(\vec b+\vec c).$$

Точка $$K$$ — середина медианы $$BB_1$$, значит $$K$$ — середина отрезка $$BB_1$$, и

$$\overrightarrow{AK}=\frac12\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB_1}\right).$$

Подставим найденное выражение для $$\overrightarrow{AB_1}$$:

$$\overrightarrow{AK} =\frac12\vec a+\frac12\cdot\frac12(\vec b+\vec c) =\frac12\vec a+\frac14\vec b+\frac14\vec c.$$

Ответ

$$\overrightarrow{AK}=\frac12\vec a+\frac14\vec b+\frac14\vec c.$$