Упр.627 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1, в котором AB = AD = а, AA1 = 2а. B вершинах B1 и D1 помещены заряды q, а в вершине A — заряд 2q. Найдите абсолютную величину результирующей напряженности электрического поля: а) в точке A1; б) вточкеС;в) BueHTperpaHHA1B1C1D1Jr) вцентреграниАВСО.

Обозначим напряжённость поля точечного заряда формулой $$E=\dfrac{k|q|}{r^2}$$, где $$r$$ — расстояние от заряда до точки наблюдения. Напряжённость в искомой точке равна векторной сумме напряжённостей от зарядов в вершинах $$A$$, $$B_1$$ и $$D_1$$.

а) В точке $$A_1$$.

Расстояния от точки $$A_1$$ до зарядов равны:

$$A_1A=AA_1=2a,\qquad A_1B_1=A_1D_1=\sqrt{a^2+(2a)^2}=a\sqrt5.$$

Векторы $$\overrightarrow{A_1A}$$, $$\overrightarrow{A_1B_1}$$ и $$\overrightarrow{A_1D_1}$$ взаимно перпендикулярны по направлениям, а по симметрии вклад от зарядов в $$B_1$$ и $$D_1$$ одинаков. Поэтому

$$ E_{A_1}=\frac{k\cdot 2q}{(2a)^2}+\frac{kq}{(a\sqrt5)^2}+\frac{kq}{(a\sqrt5)^2} =\frac{kq}{2a^2}+\frac{2kq}{5a^2} =\frac{9kq}{10a^2}. $$

б) В точке $$C$$.

Найдём расстояния:

$$CB_1=CD_1=a\sqrt5,\qquad CA=\sqrt{a^2+a^2+(2a)^2}=a\sqrt6.$$

Тогда

$$ E_C=\frac{kq}{(a\sqrt5)^2}+\frac{kq}{(a\sqrt5)^2}+\frac{k\cdot 2q}{(a\sqrt6)^2} =\frac{2kq}{5a^2}+\frac{kq}{3a^2} =\frac{11kq}{15a^2}. $$

в) В центре грани $$A_1B_1C_1D_1$$.

Обозначим центр этой грани через $$O_1$$. Тогда

$$O_1A_1=O_1B_1=O_1D_1=\frac{a\sqrt2}{2}.$$

По симметрии горизонтальные составляющие напряжённостей от зарядов в $$B_1$$ и $$D_1$$ взаимно компенсируются, а результирующая направлена вдоль $$O_1A_1$$. Поэтому

$$ E_{O_1}=\frac{k\cdot 2q}{\left(\frac{a\sqrt2}{2}\right)^2} =\frac{2kq}{\frac{a^2}{2}} =\frac{4kq}{a^2}. $$

г) В центре грани $$ABCD$$.

Обозначим центр этой грани через $$O$$. Тогда

$$OA=OB=OD=\frac{a\sqrt2}{2},\qquad OB_1=OD_1=\sqrt{\left(\frac{a\sqrt2}{2}\right)^2+(2a)^2}=\frac{3a}{\sqrt2}.$$

По симметрии векторы от зарядов в $$B_1$$ и $$D_1$$ дают одинаковые по модулю составляющие, а суммарная напряжённость направлена вдоль оси, перпендикулярной грани $$ABCD$$. После сложения векторов получаем

$$ E_O=\frac{4\sqrt{737}}{27a^2}kq. $$

Ответ

$$ \text{а) } \frac{9kq}{10a^2};\qquad \text{б) } \frac{11kq}{15a^2};\qquad \text{в) } \frac{4kq}{a^2};\qquad \text{г) } \frac{4\sqrt{737}}{27a^2}kq. $$