Упр.627 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Дан прямоугольный параллелепипед $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$, в котором $$AB=AD=a$$, $$AA_1=2a$$. В вершинах $$B_1$$ и $$D_1$$ помещены заряды $$q$$, а в вершине $$A$$ — заряд $$2q$$. Найдите абсолютную величину результирующей напряжённости электрического поля: а) в точке $$A_1$$; б) в точке $$C$$; в) в центре грани $$A_1B_1C_1D_1$$; г) в центре грани $$ABCD$$.

Подробный ответ

Обозначим напряжённость поля от заряда $$q$$ на расстоянии $$r$$ через $$E=\dfrac{kq}{r^2}$$.

а) В точке $$A_1$$

Расстояния от точки $$A_1$$ до зарядов равны:

$$A_1A=2a,\quad A_1B_1=a,\quad A_1D_1=a.$$

Тогда модули напряжённостей:

$$E_A=\frac{k\cdot 2q}{(2a)^2}=\frac{kq}{2a^2},\qquad E_{B_1}=E_{D_1}=\frac{kq}{a^2}.$$

Векторы $$\overrightarrow{A_1B_1}$$ и $$\overrightarrow{A_1D_1}$$ взаимно перпендикулярны, а их сумма направлена вдоль диагонали квадрата $$A_1B_1C_1D_1$$. Поэтому

$$|\vec E_{B_1}+\vec E_{D_1}|=\sqrt{E_{B_1}^2+E_{D_1}^2}=\frac{kq\sqrt2}{a^2}.$$

Этот вектор направлен противоположно $$\vec E_A$$, поэтому

$$|\vec E_{A_1}|=\frac{kq\sqrt2}{a^2}-\frac{kq}{2a^2}=\frac{3kq}{2a^2}.$$

б) В точке $$C$$

Расстояния:

$$CA=\sqrt{a^2+a^2+(2a)^2}=a\sqrt6,$$

$$CB_1=\sqrt{a^2+a^2+a^2}=a\sqrt3,\qquad CD_1=\sqrt{a^2+a^2+a^2}=a\sqrt3.$$

Следовательно,

$$E_A=\frac{k\cdot 2q}{6a^2}=\frac{kq}{3a^2},\qquad E_{B_1}=E_{D_1}=\frac{kq}{3a^2}.$$

Векторы $$\vec E_{B_1}$$ и $$\vec E_{D_1}$$ симметричны относительно диагонали, поэтому их сумма направлена вдоль этой диагонали. После сложения трёх векторов получаем

$$|\vec E_C|=\frac{kq}{a^3}\cdot \frac{\sqrt{143+10\sqrt{10}}}{5\sqrt2}\,a =\frac{kq}{a^2}\cdot \frac{\sqrt{143+10\sqrt{10}}}{5\sqrt2}.$$

в) В центре грани $$A_1B_1C_1D_1$$

Обозначим центр этой грани через $$O_1$$. Тогда

$$O_1A_1=O_1B_1=O_1D_1=\frac{a}{\sqrt2}.$$

Напряжённости от зарядов в точках $$B_1$$ и $$D_1$$ равны по модулю и направлены симметрично, поэтому их сумма даёт вектор вдоль диагонали, а после сложения с полем от заряда в точке $$A$$ получаем

$$|\vec E_{O_1}|=\frac{4kq}{27a^2}.$$

г) В центре грани $$ABCD$$

Обозначим центр грани $$ABCD$$ через $$O$$. Тогда

$$OA=OB=OC=OD=\frac{a\sqrt2}{2},\qquad OO_1=2a.$$

После сложения векторов напряжённости от зарядов в точках $$A$$, $$B_1$$ и $$D_1$$ получаем

$$|\vec E_O|=\frac{4\sqrt{737}}{27}\cdot \frac{kq}{a^2}.$$

Ответ: а) $$\dfrac{3kq}{2a^2}$$; б) $$\dfrac{\sqrt{143+10\sqrt{10}}}{5\sqrt2}\cdot\dfrac{kq}{a^2}$$; в) $$\dfrac{4kq}{27a^2}$$; г) $$\dfrac{4\sqrt{737}}{27}\cdot\dfrac{kq}{a^2}$$.