Упр.626 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

На двух скрещивающихся прямых отмечены по три точки: $$A_1, A_2, A_3$$ и $$B_1, B_2, B_3$$, причем $$A_1A_2=k\cdot A_1A_3$$, $$B_1B_2=k\cdot B_1B_3$$. Докажите, что прямые $$A_1B_1$$, $$A_2B_2$$, $$A_3B_3$$ параллельны некоторой плоскости.

Обозначим

$$\vec{u}=\overrightarrow{A_1B_1},\qquad \vec{v}=\overrightarrow{A_1A_3},\qquad \vec{w}=\overrightarrow{B_1B_3}.$$

Тогда из условий задачи

$$\overrightarrow{A_1A_2}=k\vec{v},\qquad \overrightarrow{B_1B_2}=k\vec{w}.$$

Найдём векторы, направляющие прямые $$A_2B_2$$ и $$A_3B_3$$:

$$\overrightarrow{A_2B_2} =\overrightarrow{A_2A_1}+\overrightarrow{A_1B_1}+\overrightarrow{B_1B_2} =-k\vec{v}+\vec{u}+k\vec{w} =\vec{u}-k(\vec{v}-\vec{w}),$$

$$\overrightarrow{A_3B_3} =\overrightarrow{A_3A_1}+\overrightarrow{A_1B_1}+\overrightarrow{B_1B_3} =-\vec{v}+\vec{u}+\vec{w} =\vec{u}-(\vec{v}-\vec{w}).$$

Тогда

$$\overrightarrow{A_2B_2}-k\overrightarrow{A_3B_3} =\bigl(\vec{u}-k(\vec{v}-\vec{w})\bigr)-k\bigl(\vec{u}-(\vec{v}-\vec{w})\bigr) =(1-k)\vec{u}.$$

Значит, вектор $$\vec{u}=\overrightarrow{A_1B_1}$$ выражается через векторы $$\overrightarrow{A_2B_2}$$ и $$\overrightarrow{A_3B_3}$$, то есть векторы

$$\overrightarrow{A_1B_1},\ \overrightarrow{A_2B_2},\ \overrightarrow{A_3B_3}$$

компланарны. Следовательно, прямые $$A_1B_1,\ A_2B_2,\ A_3B_3$$ параллельны одной и той же плоскости.

Ответ: прямые $$A_1B_1,\ A_2B_2,\ A_3B_3$$ параллельны некоторой плоскости.