Упр.626 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Ha двух скрещивающихся прямых отмечены по три точки: A1, A2, A3 и B1, B2, B3, причем A1A2 = k • A1A3, B1B2 = k • B1B3. Докажите, что прямые A1B1, A2B2, A3B3 параллельны некоторой плоскости.

Подробный ответ

Обозначим через $$\vec x=\overrightarrow{A_1B_1}.$$ Тогда

$$\overrightarrow{A_2B_2}=\overrightarrow{A_2A_1}+\overrightarrow{A_1B_1}+\overrightarrow{B_1B_2} =\overrightarrow{A_1B_1}-\overrightarrow{A_1A_2}+\overrightarrow{B_1B_2},$$
$$\overrightarrow{A_3B_3}=\overrightarrow{A_3A_1}+\overrightarrow{A_1B_1}+\overrightarrow{B_1B_3} =\overrightarrow{A_1B_1}-\overrightarrow{A_1A_3}+\overrightarrow{B_1B_3}.$$

По условию $$\overrightarrow{A_1A_2}=k\overrightarrow{A_1A_3}$$ и $$\overrightarrow{B_1B_2}=k\overrightarrow{B_1B_3}.$$ Поэтому

$$\overrightarrow{A_2B_2}=\overrightarrow{A_1B_1}-k\overrightarrow{A_1A_3}+k\overrightarrow{B_1B_3},$$
$$\overrightarrow{A_3B_3}=\overrightarrow{A_1B_1}-\overrightarrow{A_1A_3}+\overrightarrow{B_1B_3}.$$

Сложим эти векторы:

$$\overrightarrow{A_2B_2}+\overrightarrow{A_3B_3} =2\overrightarrow{A_1B_1}-(k+1)\overrightarrow{A_1A_3}+(k+1)\overrightarrow{B_1B_3}.$$

Из этого равенства получаем, что вектор $$\overrightarrow{A_1B_1}$$ выражается через $$\overrightarrow{A_2B_2}$$ и $$\overrightarrow{A_3B_3}$$, то есть векторы $$\overrightarrow{A_1B_1},\ \overrightarrow{A_2B_2},\ \overrightarrow{A_3B_3}$$ компланарны.

Следовательно, прямые $$A_1B_1,\ A_2B_2,\ A_3B_3$$ лежат в направлениях, параллельных одной и той же плоскости. Значит, эти прямые параллельны некоторой плоскости.