Упр.625 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Докажите, что векторы $$p$$, $$a$$ и $$b$$ компланарны, если:
а) один из данных векторов нулевой;
б) два из данных векторов коллинеарны.

Пусть даны векторы $$\vec p,\ \vec a,\ \vec b.$$

Докажем, что они компланарны в каждом из указанных случаев.

1. Если один из векторов нулевой, например $$\vec p=\vec 0,$$ то его можно считать лежащим в любой плоскости. Тогда векторы $$\vec a$$ и $$\vec b$$ вместе с ним можно расположить в одной плоскости, значит, все три вектора компланарны.

2. Если два из векторов коллинеарны, например $$\vec a$$ и $$\vec b,$$ то они лежат на параллельных прямых. Перенесём их так, чтобы они начинались в одной точке. Тогда эти векторы будут лежать на одной прямой, а значит, и в одной плоскости. Третий вектор $$\vec p$$ вместе с ними также можно расположить в этой плоскости, следовательно, векторы $$\vec p,\ \vec a,\ \vec b$$ компланарны.

Таким образом, в обоих случаях векторы $$\vec p,\ \vec a,\ \vec b$$ компланарны.