Упр.624 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Три точки $$M$$, $$N$$ и $$P$$ лежат на одной прямой, а точка $$O$$ не лежит на этой прямой. Выразите вектор $$\overrightarrow{OP}$$ через векторы $$\overrightarrow{OM}$$ и $$\overrightarrow{ON}$$, если:

а) $$\overrightarrow{NP}=2\overrightarrow{MN}$$;

б) $$\overrightarrow{MP}=-1\overrightarrow{PN}$$;

в) $$\overrightarrow{MP}=k\overrightarrow{MN}$$, где $$k$$ — данное число.

Обозначим через $$\vec{MN}$$ вектор, направленный от $$M$$ к $$N$$.

Ход решения

а) Из условия $$\vec{NP}=2\vec{MN}$$. Тогда

$$\vec{ON}=\vec{OM}+\vec{MN}, \qquad \vec{MN}=\vec{ON}-\vec{OM}.$$

$$\vec{OP}=\vec{ON}+\vec{NP}=\vec{ON}+2\vec{MN} =\vec{ON}+2(\vec{ON}-\vec{OM}) =3\vec{ON}-2\vec{OM}.$$

б) Из условия $$\vec{MP}=-\frac12\vec{PN}$$, а так как $$\vec{PN}=-\vec{NP}$$, то

$$\vec{MP}=\frac12\vec{NP}.$$

Следовательно, точки $$M,P,N$$ лежат на одной прямой, причём $$PM=MN$$ и $$\vec{PM}=-\vec{NM}$$. Тогда

$$\vec{OM}=\vec{OP}+\vec{PM},$$
откуда
$$\vec{OP}=\vec{OM}-\vec{PM}=\vec{OM}+\vec{NM}.$$

Но $$\vec{NM}=\vec{ON}-\vec{OM}$$, значит

$$\vec{OP}=\vec{OM}+(\vec{ON}-\vec{OM})=2\vec{OM}-\vec{ON}.$$

в) Пусть $$\vec{MP}=k\vec{MN}$$. Тогда

$$\vec{OP}=\vec{OM}+\vec{MP}=\vec{OM}+k\vec{MN}.$$

Так как

$$\vec{MN}=\vec{ON}-\vec{OM},$$

то

$$\vec{OP}=\vec{OM}+k(\vec{ON}-\vec{OM}) =k\vec{ON}+(1-k)\vec{OM}.$$

Ответ

а) $$\vec{OP}=3\vec{ON}-2\vec{OM}$$; б) $$\vec{OP}=2\vec{OM}-\vec{ON}$$; в) $$\vec{OP}=k\vec{ON}+(1-k)\vec{OM}$$.