Упр.623 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Докажите, что для любой точки M пространства справедливо неравенство $$MO
Так как $$ABCD$$ — параллелограмм, то его диагонали пересекаются и делятся пополам в точке $$O$$. Следовательно,
$$\overrightarrow{BO}=-\overrightarrow{DO}, \qquad \overrightarrow{AO}=-\overrightarrow{CO}.$$
Запишем вектор $$\overrightarrow{MO}$$ через вершины параллелограмма:
$$\overrightarrow{MO}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CO}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DO}.$$
Сложим эти равенства:
$$4\overrightarrow{MO}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}.$$
Отсюда
$$\overrightarrow{MO}=\frac14\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}\right).$$
Теперь применим неравенство треугольника к сумме векторов:
$$|MO|=\left|\frac14\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}\right)\right| \le \frac14\left(|MA|+|MB|+|MC|+|MD|\right).$$
Так как точки $$A,B,C,D$$ не лежат на одной прямой и векторы $$\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB},\overrightarrow{MC},\overrightarrow{MD}$$ не могут быть попарно сонаправлены, то равенство здесь невозможно. Значит,
$$MO<\frac14\left(MA+MB+MC+MD\right).$$
