Упр.622 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырёхугольника $ABCD$, пересекаются в точке $M$. Точка $O$ — произвольная точка пространства. Докажите, что справедливо равенство $$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}\right).$$

Подробный ответ

Обозначим через $$E, F, K, N$$ середины сторон $$AB, BC, CD, DA$$ соответственно, а точку пересечения отрезков $$EK$$ и $$FN$$ — через $$M$$.

Тогда

$$\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AE}.$$

Так как $$E$$ — середина $$AB$$, то $$\overrightarrow{BE}=-\overrightarrow{AE}$$, значит

$$2\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}, \qquad \overrightarrow{OE}=\frac12\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right).$$

Аналогично получаем:

$$\overrightarrow{OF}=\frac12\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right), \qquad \overrightarrow{OK}=\frac12\left(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}\right), \qquad \overrightarrow{ON}=\frac12\left(\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OA}\right).$$

Рассмотрим четырёхугольник $$EFKN$$. В нём

$$EF=\frac12 AC,\qquad NK=\frac12 AC,$$

следовательно, $$EF=NK$$. Аналогично

$$EN=\frac12 BD,\qquad FK=\frac12 BD,$$

то есть $$EN=FK$$.

Значит, $$EFKN$$ — параллелограмм, а его диагонали $$EK$$ и $$FN$$ пересекаются и делятся пополам в точке $$M$$. Поэтому

$$\overrightarrow{OM}=\frac12\left(\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OK}\right)=\frac12\left(\overrightarrow{OF}+\overrightarrow{ON}\right).$$

Сложим эти равенства:

$$4\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF}+\overrightarrow{OK}+\overrightarrow{ON}.$$

Подставляя найденные выражения, получаем

$$4\overrightarrow{OM} =\frac12\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right) +\frac12\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right) +\frac12\left(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}\right) +\frac12\left(\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OA}\right),$$

откуда

$$4\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}.$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{OM}=\frac14\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}\right).$$