Упр.621 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Точки $$A_1$$, $$B_1$$ и $$C_1$$ — середины сторон $$BC$$, $$AC$$ и $$AB$$ треугольника $$ABC$$, точка $$O$$ — произвольная точка пространства. Докажите, что $$\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OB_1}+\overrightarrow{OC_1}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$$.

Подробный ответ

Обозначим через $$\overrightarrow{OA}=\mathbf a,$$ $$\overrightarrow{OB}=\mathbf b,$$ $$\overrightarrow{OC}=\mathbf c.$$ Тогда, так как $$A_1,$$ $$B_1,$$ $$C_1$$ — середины сторон $$BC,$$ $$AC,$$ $$AB,$$ имеем

$$\overrightarrow{OA_1}=\frac{\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{2},\qquad \overrightarrow{OB_1}=\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}}{2},\qquad \overrightarrow{OC_1}=\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}{2}.$$

Сложим эти равенства:

$$\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OB_1}+\overrightarrow{OC_1} = \frac{\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{2} +\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}}{2} +\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}{2}.$$

Приведём подобные:

$$\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OB_1}+\overrightarrow{OC_1} = \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}.$$

Что и требовалось доказать.