Упр.620 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Числа $$k$$ и $$l$$ не равны друг другу. Докажите, что если векторы $$\vec a+k\vec b$$ и $$\vec a+l\vec b$$ неколлинеарны, то: а) векторы $$\vec a$$ и $$\vec b$$ неколлинеарны; б) векторы $$\vec a+k_1\vec b$$ и $$\vec a+l_1\vec b$$ неколлинеарны при любых неравных числах $$k_1$$ и $$l_1$$.

Докажем утверждение по пунктам.

а)

Докажем от противного. Пусть векторы $$\vec a$$ и $$\vec b$$ коллинеарны. Тогда существует число $$n$$ такое, что $$\vec a=n\vec b$$.

Следовательно,

$$\vec a+k\vec b=n\vec b+k\vec b=(n+k)\vec b,$$
$$\vec a+l\vec b=n\vec b+l\vec b=(n+l)\vec b.$$

Значит, векторы $$\vec a+k\vec b$$ и $$\vec a+l\vec b$$ коллинеарны, что противоречит условию. Следовательно, векторы $$\vec a$$ и $$\vec b$$ не коллинеарны.

б)

Докажем от противного. Пусть векторы $$\vec a+k_1\vec b$$ и $$\vec a+l_1\vec b$$ коллинеарны. Тогда существует число $$n$$ такое, что

$$\vec a+k_1\vec b=n(\vec a+l_1\vec b).$$

Перенесём слагаемые:

$$\vec a-n\vec a=n l_1\vec b-k_1\vec b,$$
$$(1-n)\vec a=(n l_1-k_1)\vec b.$$

Так как $$k_1\ne l_1$$, то из этого равенства следует, что $$\vec a$$ и $$\vec b$$ коллинеарны. Но тогда по пункту а) векторы $$\vec a+k\vec b$$ и $$\vec a+l\vec b$$ были бы коллинеарны, что противоречит условию.

Значит, векторы $$\vec a+k_1\vec b$$ и $$\vec a+l_1\vec b$$ не коллинеарны при любых $$k_1\ne l_1$$.