Упр.620 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Числа k и 1 не равны друг другу. Докажите, что если векторы а + kb и а + Ib не коллинеарны, то: а) векторы а и b не коллинеарны; б) векторы а + kfi и а + 1гЬ не коллинеарны при любых неравных числах ^1 и I1.

а) Докажем от противного.

Пусть векторы $$\vec a$$ и $$\vec b$$ коллинеарны. Тогда существует число $$n$$ такое, что $$\vec a=n\vec b$$.

Следовательно,

$$\vec a+k\vec b=n\vec b+k\vec b=(n+k)\vec b,$$

$$\vec a+l\vec b=n\vec b+l\vec b=(n+l)\vec b.$$

Значит, векторы $$\vec a+k\vec b$$ и $$\vec a+l\vec b$$ коллинеарны, что противоречит условию. Следовательно, $$\vec a$$ и $$\vec b$$ не коллинеарны.

б) Докажем от противного.

Пусть векторы $$\vec a+k_1\vec b$$ и $$\vec a+l_1\vec b$$ коллинеарны. Тогда существует число $$n$$ такое, что

$$\vec a+k_1\vec b=n(\vec a+l_1\vec b).$$

Перенесём слагаемые:

$$\vec a+k_1\vec b=n\vec a+n l_1\vec b,$$

$$ (1-n)\vec a=(n l_1-k_1)\vec b.$$

Отсюда $$\vec a$$ и $$\vec b$$ коллинеарны. Но по пункту а) это невозможно, значит, наше предположение неверно.

Следовательно, векторы $$\vec a+k_1\vec b$$ и $$\vec a+l_1\vec b$$ не коллинеарны при любых $$k_1\ne l_1$$.

Ответ

а) $$\vec a$$ и $$\vec b$$ не коллинеарны; б) $$\vec a+k_1\vec b$$ и $$\vec a+l_1\vec b$$ не коллинеарны при любых $$k_1\ne l_1$$.