Упр.619 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. При каких значениях $$k$$ в равенстве $$a=kb$$, где $$b\ne0$$, векторы $$a$$ и $$b$$: а) коллинеарны; б) сонаправлены; в) противоположно направлены; г) являются противоположными?

Рассмотрим векторное равенство $$\vec a-k\vec b,$$ где $$\vec b\ne \vec 0.$$

Чтобы векторы $$\vec a$$ и $$\vec b$$ были коллинеарны, один из них должен выражаться через другой умножением на число. Это выполняется при любых значениях $$k$$.

Если векторы сонаправлены, то коэффициент при $$\vec b$$ должен быть неотрицательным, значит

$$k\ge 0.$$

Если векторы противоположно направлены, то коэффициент должен быть отрицательным, поэтому

$$k<0.$$

Если векторы противоположны, то они равны по модулю и направлены в противоположные стороны. Это возможно при

$$k=-1.$$

Ответ: а) при любых $$k$$; б) $$k\ge 0$$; в) $$k<0$$; г) $$k=-1$$.