Упр.618 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Даны треугольники $ABC$, $A_1B_1C_1$ и две точки $O$ и $P$ пространства. Известно, что $$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA_1},\quad \overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OB_1},\quad \overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OC_1}.$$ Докажите, что стороны треугольника $A_1B_1C_1$ соответственно равны и параллельны сторонам треугольника $ABC$.

Подробный ответ

Из равенства $$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA_1}$$ получаем

$$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA_1}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{AA_1}.$$

Аналогично из равенств $$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OB_1}$$ и $$\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OC_1}$$ имеем

$$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{BB_1}, \qquad \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{CC_1}.$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{BB_1}=\overrightarrow{CC_1}.$$

Значит, отрезки $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ равны и параллельны. Поэтому точки $$A_1, B_1, C_1$$ получаются из точек $$A, B, C$$ одним и тем же параллельным переносом на вектор $$\overrightarrow{OP}$$. Отсюда треугольник $$A_1B_1C_1$$ равен и параллелен треугольнику $$ABC$$, то есть

$$A_1B_1 \parallel AB,\quad B_1C_1 \parallel BC,\quad C_1A_1 \parallel CA,$$

и соответственно

$$A_1B_1=AB,\quad B_1C_1=BC,\quad C_1A_1=CA.$$