Упр.617 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Дан параллелепипед $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$. Найдите сумму векторов:
   а) $$AB+B_1C_1+DD_1+CD$$;
   б) $$B_1C_1+AB+DD_1+CB_1+BC+A_1A$$;
   в) $$BA+AC+CB+DC+DA$$.

Используем сочетаемость и переместительность сложения векторов, а также то, что противоположные рёбра параллелепипеда равны и параллельны.

а)
$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B_1C_1}+\overrightarrow{DD_1}+\overrightarrow{CD} = (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B_1C_1})+(\overrightarrow{DD_1}+\overrightarrow{CD})$$
Так как $$\overrightarrow{B_1C_1}=\overrightarrow{BC}$$, а $$\overrightarrow{DD_1}=\overrightarrow{CC_1}$$, получаем
$$(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})+(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DD_1}) = \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD_1} = \overrightarrow{AD_1}.$$

б)
$$\overrightarrow{B_1C_1}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DD_1}+\overrightarrow{CB_1}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{A_1A}$$
Сгруппируем слагаемые:
$$(\overrightarrow{CB_1}+\overrightarrow{B_1C_1})+(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})+(\overrightarrow{DD_1}+\overrightarrow{A_1A})$$
Так как $$\overrightarrow{CB_1}+\overrightarrow{B_1C_1}=\overrightarrow{CC_1}$$, $$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$$, а $$\overrightarrow{DD_1}+\overrightarrow{A_1A}=\overrightarrow{D_1A_1}$$, то
$$\overrightarrow{CC_1}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{D_1A_1}.$$
Но $$\overrightarrow{D_1A_1}=\overrightarrow{C_1C}$$, значит
$$\overrightarrow{CC_1}+\overrightarrow{C_1C}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC}.$$
Следовательно, сумма равна $$\overrightarrow{AC_1}$$.

в)
$$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DA}$$
Сгруппируем:
$$(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB})+(\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DA})$$
Имеем
$$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}, \qquad \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{0},$$
поэтому остаётся
$$\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DA}.$$
В параллелограмме $$ABCD$$ сумма двух соседних векторов из одной вершины равна диагонали:
$$\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{DB}.$$

Ответ: а) $$\overrightarrow{AD_1}$$; б) $$\overrightarrow{AC_1}$$; в) $$\overrightarrow{DB}$$.