Упр.614 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

На рисунке 120 изображён правильный октаэдр. Докажите, что:

а) $$AB+FB=DB$$;

б) $$AC-CF=EC$$;

в) $$AB+AC+AD+AE=2AF$$.

Так как $$ABCDEF$$ — правильный октаэдр, то все его грани — ромбы. Поэтому в каждой грани можно применять правило параллелограмма для векторов.

а) В грани $$ABFD$$ четырёхугольник $$ABFD$$ — ромб, значит

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{AF}.$$

Тогда

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{FB}=-\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BF}=-\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BF}\right)=-\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{DB}.$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{FB}=\overrightarrow{DB}.$$

б) В грани $$ACFE$$ четырёхугольник $$ACFE$$ — ромб, значит

$$\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{CE}.$$

Тогда

$$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{CF}=-\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CF}=-\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CF}\right)=-\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{EC}.$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{EC}.$$

в) Сложим векторы попарно:

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AF},$$

$$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AF}.$$

Тогда

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)+\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AE}\right)=\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{AF}.$$

Что и требовалось доказать.