Упр.614 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: На рисунке 120 изображен правильный октаэдр. Докажите, что: а) AB + FB = DB; б) AC- CF = ЁС; в) AB + AC + AD + AE = 2AF.

Так как $$ABCDEF$$ — правильный октаэдр, то все его рёбра равны, а грани $$ABFD$$ и $$ACFE$$ являются ромбами.

а) В ромбе $$ABFD$$ противоположные стороны параллельны и равны, поэтому по правилу параллелограмма

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{AF}.$$

Тогда

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{FB}=-\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BF}=-(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BF})=-\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{DB}.$$

Значит,

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{FB}=\overrightarrow{DB}.$$

б) В ромбе $$ACFE$$ по правилу параллелограмма имеем

$$\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{CE}.$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{CF}=-\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CF}=-(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CF})=-\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{EC}.$$

Значит,

$$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{EC}.$$

в) Сгруппируем векторы попарно:

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})+(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AE}).$$

В ромбах $$ABFD$$ и $$ACFE$$ по правилу параллелограмма

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AF},$$

$$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AF}.$$

Тогда

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{AF}.$$

Ответ

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{FB}=\overrightarrow{DB},\qquad \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{EC},\qquad \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{AF}.$$