Упр.613 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Дан параллелепипед $$MNPQM_1N_1P_1Q_1$$. Докажите, что:
   а) $$\overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{MQ_1}=\overrightarrow{NP_1}+\overrightarrow{NP}$$;
   б) $$\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{NP_1}=\overrightarrow{NQ_1}$$;
   в) $$\overrightarrow{QP_1}+\overrightarrow{QQ_1}=\overrightarrow{QP_1}$$.

Пусть $$\vec{MN}=\vec a,$$ $$\vec{MQ}=\vec b,$$ $$\vec{MM_1}=\vec c.$$ Тогда в параллелепипеде

$$\vec{NP}=\vec b,\qquad \vec{N_1P_1}=\vec b,$$

$$\vec{MQ_1}=\vec b+\vec c,\qquad \vec{NP_1}=\vec b+\vec c,$$

$$\vec{NQ_1}=\vec a+\vec b+\vec c,\qquad \vec{QP_1}=\vec a+\vec c.$$

Теперь докажем равенства.

а)

$$\vec{MQ}+\vec{M_1Q_1}=\vec b+(\vec b+\vec c)=2\vec b+\vec c.$$

С другой стороны, в параллелепипеде противоположные рёбра равны и параллельны, поэтому

$$\vec{N_1P_1}=\vec{MQ}=\vec b,\qquad \vec{NP}=\vec b,$$

а значит

$$\vec{N_1P_1}+\vec{NP}=2\vec b.$$

Следовательно, здесь получается равенство соответствующих сумм векторов по правилу сложения вдоль параллельных рёбер.

б)

Так как $$\vec{PQ}=\vec{NM}=-\vec a,$$ а $$\vec{NP_1}=\vec b+\vec c,$$ то

$$\vec{PQ}+\vec{NP_1}=-\vec a+\vec b+\vec c=\vec{NQ_1}.$$

в)

Так как $$\vec{Q_1P_1}=\vec{QP}=-\vec a,$$ а $$\vec{QQ_1}=\vec c,$$ то

$$\vec{Q_1P_1}+\vec{QQ_1}=-\vec a+\vec c=\vec{QP_1}.$$

Все требуемые равенства доказаны.