Упр.613 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Дан параллелепипед MNPQM1N1P1Q1. Докажите, что: а) MQ + + M^Q1 = N^P1 + NP; б) PQ + NP, =NQ1; в) Q^P1 +QQ1 =QP1.

Пусть дан параллелепипед $$MNPQM_1N_1P_1Q_1$$. В параллелепипеде противоположные грани равны и параллельны, поэтому соответствующие им векторы равны.

а) Так как ребра $$MQ$$ и $$M_1Q_1$$, а также $$N_1P_1$$ и $$NP$$ равны и параллельны, то

$$\overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{M_1Q_1}=\overrightarrow{N_1P_1}+\overrightarrow{NP}.$$

б) В параллелепипеде $$\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{NM}$$ и $$\overrightarrow{NP_1}=\overrightarrow{MQ_1}$$, так как эти векторы являются диагоналями равных параллелограммов. Тогда

$$\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{NP_1}=\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{MQ_1}=\overrightarrow{NQ_1}.$$

в) Аналогично,

$$\overrightarrow{Q_1P_1}+\overrightarrow{QQ_1}=\overrightarrow{QQ_1}+\overrightarrow{Q_1P_1}=\overrightarrow{QP_1},$$

что и требовалось доказать.

Ответ

$$\overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{M_1Q_1}=\overrightarrow{N_1P_1}+\overrightarrow{NP},$$
$$\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{NP_1}=\overrightarrow{NQ_1},$$
$$\overrightarrow{Q_1P_1}+\overrightarrow{QQ_1}=\overrightarrow{QP_1}.$$