Упр.612 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- В тетраэдре $$ABCD$$ точки $$K$$ и $$M$$ — середины рёбер $$AB$$ и $$CD$$. Докажите, что середины отрезков $$KC$$, $$KD$$, $$MA$$ и $$MB$$ являются вершинами некоторого параллелограмма.
Обозначим через $$F,\ G,\ H,\ E$$ середины отрезков $$KC,\ BM,\ KD,\ AM$$ соответственно.
Докажем, что четырёхугольник $$EFGH$$ — параллелограмм.
Так как $$H$$ и $$F$$ — середины сторон треугольника $$DKC$$, то $$FH$$ — средняя линия этого треугольника. Следовательно,
$$FH \parallel DC,\qquad FH=\frac12\,DC.$$
Аналогично, в треугольнике $$ABM$$ точки $$G$$ и $$E$$ — середины сторон $$BM$$ и $$AM$$, значит $$GE$$ — средняя линия, поэтому
$$GE \parallel AB,\qquad GE=\frac12\,AB.$$
Пусть $$O=FH\cap KM$$ и одновременно $$O=GE\cap KM$$. Тогда $$O$$ — точка пересечения средних линий соответствующих треугольников.
Рассмотрим треугольники $$FAO$$ и $$CAM$$. У них
$$\angle AOF=\angle AMO,\qquad \angle AFO=\angle ACM,$$
как соответственные углы при параллельных прямых, поэтому
$$\triangle FAO \sim \triangle CAM.$$
Из подобия получаем
$$\frac{FA}{CA}=\frac{OA}{MA}=\frac{FO}{CM}.$$
Так как $$F$$ — середина $$KC$$, то $$FA=\frac12\,CA$$, значит
$$\frac12=\frac{FO}{CM},\qquad CM=2FO.$$
Но $$M$$ — середина $$CD$$, следовательно $$MD=CM$$, а значит
$$MD=CM=2FO=2OH.$$
Отсюда $$O$$ — середина отрезка $$MH$$.
Теперь рассмотрим треугольник $$ABM$$. Поскольку $$E$$ — середина $$AM$$, а $$K$$ — середина $$AB$$, то отрезок $$EK$$ — средняя линия треугольника $$ABM$$. Следовательно, $$EK \parallel BM$$ и $$EK=\frac12\,BM$$. Так как $$G$$ — середина $$BM$$, то $$OG=OE$$, то есть $$O$$ — середина $$EG$$.
Итак, диагонали четырёхугольника $$EFGH$$ пересекаются и делятся точкой $$O$$ пополам. Значит, $$EFGH$$ — параллелограмм.
Ответ: середины отрезков $$KC,\ KD,\ MA,\ MB$$ являются вершинами параллелограмма.
