Упр.611 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Отрезки $$AB$$ и $$CD$$ не лежат в одной плоскости, точки $$M$$ и $$N$$ — середины этих отрезков. Докажите, что $$MN < | (AC + BD)$$.

Подробный ответ

Пусть $$\vec{NM}=\frac12\left(\vec{NA}+\vec{NB}\right),$$ так как точка $$M$$ — середина отрезка $$AB$$.

Разложим векторы $$\vec{NA}$$ и $$\vec{NB}$$ через точки $$C$$ и $$D$$:

$$\vec{NA}=\vec{NC}+\vec{CA}, \qquad \vec{NB}=\vec{ND}+\vec{DB}.$$

Тогда

$$\vec{NM}=\frac12\left(\vec{NC}+\vec{CA}+\vec{ND}+\vec{DB}\right).$$

Так как $$N$$ — середина отрезка $$CD$$, то $$\vec{NC}=-\vec{ND}$$. Следовательно,

$$\vec{NM}=\frac12\left(\vec{CA}+\vec{DB}\right).$$

Теперь оценим длину этого вектора. Поскольку отрезки $$AB$$ и $$CD$$ не лежат в одной плоскости, то векторы $$\vec{CA}$$ и $$\vec{DB}$$ не коллинеарны. Значит, по неравенству треугольника

$$MN=\left|\vec{NM}\right|=\frac12\left|\vec{CA}+\vec{DB}\right|<\frac12\left(|CA|+|DB|\right).$$

Так как $$|CA|=AC$$ и $$|DB|=BD$$, получаем

$$MN<\frac12(AC+BD).$$

Ответ: $$MN<\frac12(AC+BD).$$