Упр.610 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Точки $$A_1$$, $$B_1$$, $$C_1$$ и $$M_1$$ — основания перпендикуляров, проведённых к плоскости $$\alpha$$ из вершин треугольника $$ABC$$ и из точки $$M$$ пересечения медиан этого треугольника (рис. 119). Докажите, что $$MM_1=\frac{1}{3}(AA_1+BB_1+CC_1)$$. Останется ли верным равенство, если какие-то стороны треугольника $$ABC$$ пересекаются с плоскостью $$\alpha$$?
Пусть $$K$$ — середина $$AB$$, а $$K_1$$ — основание перпендикуляра из точки $$K$$ на плоскость $$\alpha$$. Тогда, так как $$AK=KB$$, проекции отрезков $$AK$$ и $$KB$$ на плоскость $$\alpha$$ равны, значит $$A_1K_1=K_1B_1$$. Следовательно, $$K_1$$ — середина $$A_1B_1$$, а значит, $$C_1K_1$$ — медиана треугольника $$A_1B_1C_1$$.
Так как $$M$$ лежит на медиане $$CK$$, то его проекция $$M_1$$ лежит на прямой $$C_1K_1$$. Аналогично для двух других медиан получаем, что $$M_1$$ — точка пересечения медиан треугольника $$A_1B_1C_1$$.
Теперь запишем вектор $$\overrightarrow{MM_1}$$ через вершины треугольника:
$$\overrightarrow{MM_1} = \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{A_1M_1},$$
$$\overrightarrow{MM_1} = \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{B_1M_1},$$
$$\overrightarrow{MM_1} = \overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CC_1}+\overrightarrow{C_1M_1}.$$
Сложим эти равенства:
$$3\overrightarrow{MM_1} = (\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}) + (\overrightarrow{A_1M_1}+\overrightarrow{B_1M_1}+\overrightarrow{C_1M_1}) + \overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{CC_1}.$$
Так как $$M$$ — точка пересечения медиан треугольника $$ABC$$, то
$$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}.$$
И так как $$M_1$$ — точка пересечения медиан треугольника $$A_1B_1C_1$$, то
$$\overrightarrow{A_1M_1}+\overrightarrow{B_1M_1}+\overrightarrow{C_1M_1}=\overrightarrow{0}.$$
Следовательно,
$$3\overrightarrow{MM_1}=\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{CC_1},$$
откуда
$$\overrightarrow{MM_1}=\frac13\left(\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{CC_1}\right).$$
Если какие-то стороны треугольника $$ABC$$ пересекают плоскость $$\alpha$$, то некоторые из векторов $$\overrightarrow{AA_1},\ \overrightarrow{BB_1},\ \overrightarrow{CC_1}$$ могут быть направлены противоположно, и полученное равенство вообще говоря уже не будет верным в таком виде.
Ответ: да, для треугольника, целиком лежащего по одну сторону от плоскости $$\alpha$$; если некоторые стороны пересекают плоскость $$\alpha$$, то равенство в общем случае не сохраняется.
