Упр.609 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что диагональ $$AC_1$$ параллелепипеда $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ проходит через точки пересечения медиан треугольников $$A_1BD$$ и $$CB_1D_1$$ и делится этими точками на три равных отрезка (рис. 118).

Обозначим через $$M_1$$ точку пересечения медиан треугольника $$A_1BD$$, а через $$M_2$$ — точку пересечения медиан треугольника $$CB_1D_1$$.

Для тетраэдра $$AA_1BD$$ точка $$M_1$$ является точкой пересечения медиан грани $$A_1BD$$, поэтому

$$\overrightarrow{AM_1}=\frac13\left(\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right).$$

По правилу параллелепипеда

$$\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC_1}.$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{AM_1}=\frac13\overrightarrow{AC_1}.$$

Значит, точка $$M_1$$ лежит на диагонали $$AC_1$$ и делит её в отношении $$1:2$$, то есть

$$AM_1=\frac13\,AC_1.$$

Аналогично для точки $$M_2$$ получаем

$$\overrightarrow{C_1M_2}=\frac13\overrightarrow{C_1A},$$

откуда следует, что $$M_2$$ также лежит на диагонали $$AC_1$$ и

$$C_1M_2=\frac13\,AC_1.$$

Итак, точки $$M_1$$ и $$M_2$$ лежат на диагонали $$AC_1$$ и делят её на три равных отрезка:

$$AM_1=M_1M_2=M_2C_1.$$