Упр.609 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Докажите, что диагональ AC1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 проходит через точки пересечения медиан треугольников A1BD и CB1D1 и делится этими точками на три равных отрезка (рис. 118). Решение Обозначим через M1 точку пересечения медиан треугольника A1BD. Применив формулу (5) к тетраэдру AA1BD, получим AM1 = i (AA1 +AB + AD). По правилу параллелепипеда о AA1 + AB + AD = AC1, поэтому AM1 = — AC1. Отсюда следует, что 3 точка M1 принадлежит диагонали AC1 и AM1 = — AC1. Точно так же можно доказать, что точка M2 пересечения медиан треугольника CB1D1 принадлежит диагонали AC1 и C1M2 = — AC1. о Из равенств AM1 = i AC1 и C1M2 = i AC1 следует, что точки M1 и M2 делят диагональ AC1 параллелепипеда на три равных отрезка AM1, M1M2 и M2C1.

Обозначим через $$M_1$$ точку пересечения медиан треугольника $$A_1BD$$, а через $$M_2$$ — точку пересечения медиан треугольника $$CB_1D_1$$.

Для тетраэдра $$AA_1BD$$ точка пересечения медиан треугольника $$A_1BD$$ имеет радиус-вектор

$$\overrightarrow{AM_1}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right).$$

По правилу параллелепипеда

$$\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC_1}.$$

Тогда

$$\overrightarrow{AM_1}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC_1}.$$

Следовательно, точка $$M_1$$ лежит на диагонали $$AC_1$$ и

$$AM_1=\frac{1}{3}AC_1.$$

Аналогично для точки $$M_2$$ получаем

$$\overrightarrow{C_1M_2}=\frac{1}{3}\overrightarrow{C_1A},$$

то есть $$M_2$$ также принадлежит диагонали $$AC_1$$ и

$$C_1M_2=\frac{1}{3}AC_1.$$

Значит, точки $$M_1$$ и $$M_2$$ делят диагональ $$AC_1$$ на три равные части:

$$AM_1=M_1M_2=M_2C_1=\frac{1}{3}AC_1.$$

Ответ

Диагональ $$AC_1$$ проходит через точки $$M_1$$ и $$M_2$$ и делится ими на три равных отрезка.