Упр.608 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. В тетраэдре $$ABCD$$ медианы грани $$BCD$$ пересекаются в точке $$O$$. Докажите, что длина отрезка $$AO$$ меньше $$\frac{1}{3}$$ суммы длин рёбер с общей вершиной $$A$$.

Так как точка $$O$$ — точка пересечения медиан треугольника $$BCD$$, то для любой точки $$A$$ пространства выполняется формула для радиус-вектора центра тяжести треугольника:

$$\overrightarrow{AO}=\frac13\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\right).$$

Тогда по неравенству треугольника для векторов

$$AO=\left|\overrightarrow{AO}\right| =\frac13\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\right| \le \frac13\left(|\overrightarrow{AB}|+|\overrightarrow{AC}|+|\overrightarrow{AD}|\right).$$

Следовательно,

$$AO\le \frac13(AB+AC+AD).$$

Так как в задаче требуется строгое неравенство, то при невырожденном тетраэдре равенство невозможно, значит

$$AO<\frac13(AB+AC+AD).$$

Ответ

$$AO<\frac13(AB+AC+AD).$$