Упр.608 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B тетраэдре ABCD медианы грани BCD пересекаются в точке О. Докажите, что длина отрезка AO меньше одной трети суммы длин ребер с общей вершиной А.

Так как точка $$O$$ — точка пересечения медиан грани $$BCD$$, то она является центром тяжести треугольника $$BCD$$. Поэтому для любой точки $$A$$ пространства выполняется

$$\overrightarrow{AO}=\frac13\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\right).$$

Тогда

$$ AO=\left|\overrightarrow{AO}\right| =\frac13\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\right|. $$

По неравенству треугольника для векторов

$$ \left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\right| \le |\overrightarrow{AB}|+|\overrightarrow{AC}|+|\overrightarrow{AD}|. $$

Следовательно,

$$ AO\le \frac13(AB+AC+AD). $$

Так как векторы $$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}$$ не могут быть сонаправлены одновременно, то равенство здесь невозможно, значит

$$ AO<\frac13(AB+AC+AD). $$

Ответ

$$AO<\frac13(AB+AC+AD).$$