Упр.607 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Высоты $$AM$$ и $$DN$$ правильного тетраэдра $$ABCD$$ пересекаются в точке $$K$$. Разложите по векторам $$\mathbf{a}=\overrightarrow{DA}$$, $$\mathbf{b}=\overrightarrow{DB}$$, $$\mathbf{c}=\overrightarrow{DC}$$ векторы:

а) $$\overrightarrow{DN}$$;

б) $$\overrightarrow{DK}$$;

в) $$\overrightarrow{AM}$$;

г) $$\overrightarrow{MK}$$.

Подробный ответ

Так как $$ABCD$$ — правильный тетраэдр, то все его грани равносторонние треугольники. Следовательно, высоты $$AM$$ и $$DN$$ являются одновременно медианами. Точка $$K$$ — точка их пересечения.

Обозначим $$\vec a=\overrightarrow{DA},\quad \vec b=\overrightarrow{DB},\quad \vec c=\overrightarrow{DC}.$$

Точка $$N$$ — середина стороны $$BC$$ в треугольнике $$DBC$$, поэтому

$$\overrightarrow{DN}=\frac{\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}}{2}=\frac{\vec b+\vec c}{2}.$$

Но в правильном тетраэдре высота из вершины к основанию проходит через центр равностороннего треугольника, а значит, точка $$N$$ делит медиану $$DN$$ в отношении $$2:1$$ от вершины. Поэтому для вектора от $$D$$ к точке пересечения медиан $$K$$ получаем

$$\overrightarrow{DK}=\frac{3}{4}\,\overrightarrow{DN}=\frac{3}{4}\cdot \frac{\vec b+\vec c}{2}=\frac{\vec b+\vec c}{4}.$$

Найдём $$\overrightarrow{AM}$$. Точка $$M$$ — середина стороны $$BC$$ в треугольнике $$ABC$$, значит

$$\overrightarrow{AM}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{2}.$$

Выразим $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{AC}$$ через $$\vec a,\vec b,\vec c$$:

$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DA}=\vec b-\vec a,$$
$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DA}=\vec c-\vec a.$$

Тогда

$$\overrightarrow{AM}=\frac{(\vec b-\vec a)+(\vec c-\vec a)}{2}=-\vec a+\frac{\vec b+\vec c}{2}.$$

Так как $$K$$ — точка пересечения медиан треугольника $$ADM$$, то на медиане $$AM$$ имеем

$$\overrightarrow{MK}=\frac{1}{4}\,\overrightarrow{MA}=-\frac{1}{4}\,\overrightarrow{AM}.$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{MK}=-\frac{1}{4}\left(-\vec a+\frac{\vec b+\vec c}{2}\right)=\frac{1}{4}\vec a-\frac{1}{8}\vec b-\frac{1}{8}\vec c.$$

Ответ:

$$\overrightarrow{DN}=\frac{1}{2}\vec b+\frac{1}{2}\vec c,$$
$$\overrightarrow{DK}=\frac{1}{4}\vec b+\frac{1}{4}\vec c,$$
$$\overrightarrow{AM}=-\vec a+\frac{1}{2}\vec b+\frac{1}{2}\vec c,$$
$$\overrightarrow{MK}=\frac{1}{4}\vec a-\frac{1}{8}\vec b-\frac{1}{8}\vec c.$$