Упр.606 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Медианы грани $$ABC$$ тетраэдра $$OABC$$ пересекаются в точке $$M$$. Разложите вектор $$\overrightarrow{OA}$$ по векторам $$\overrightarrow{OB}$$, $$\overrightarrow{OC}$$, $$\overrightarrow{OM}$$.

Подробный ответ

Пусть $$K$$ — середина ребра $$AB$$. Тогда в треугольнике $$ABC$$ отрезок $$CK$$ — медиана, а точка $$M$$ — точка пересечения медиан, значит $$M$$ делит медиану в отношении $$2:1$$, считая от вершины $$C$$.

Найдём сначала вектор $$\overrightarrow{OK}$$. Так как $$K$$ — середина $$AB$$, то

$$\overrightarrow{OK}=\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}{2}.$$

Теперь используем свойство точки пересечения медиан: для медианы $$CK$$ имеем

$$\overrightarrow{OM}=\frac{2\overrightarrow{OK}+\overrightarrow{OC}}{3}.$$

Подставим найденное выражение для $$\overrightarrow{OK}$$:

$$\overrightarrow{OM}=\frac{2\cdot \frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}{2}+\overrightarrow{OC}}{3} =\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{3}.$$

Отсюда

$$\overrightarrow{OA}=3\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}.$$