Упр.605 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Точки M и N являются серединами рёбер AB и A₁D₁ параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁. Разложите, если это возможно, по векторам $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{AD}$$ вектор:

$$\overrightarrow{AC}$$;
$$\overrightarrow{CM}$$;
$$\overrightarrow{C_1N}$$;
$$\overrightarrow{AC_1}$$;
$$\overrightarrow{A_1N}$$;
$$\overrightarrow{A_1C_1}$$;
$$\overrightarrow{MD}$$.

Подробный ответ

Обозначим через $$\vec{AB}$$ и $$\vec{AD}$$ два ребра основания параллелепипеда. Тогда в плоскости основания имеем:

$$\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{AD}.$$

Так как $$M$$ — середина ребра $$AB$$, то

$$\vec{AM}=\frac12\vec{AB}.$$

Тогда

$$\vec{CM}=\vec{CA}+\vec{AM}=-(\vec{AB}+\vec{AD})+\frac12\vec{AB}=-\frac12\vec{AB}-\vec{AD}.$$

Пусть $$E$$ — середина ребра $$AD$$. Тогда $$\vec{A_1N}=\vec{AE}$$, а значит

$$\vec{A_1N}=\frac12\vec{AD}.$$

Следовательно,

$$\vec{C_1N}=\vec{C_1E}=\vec{CE}=\vec{CA}+\vec{AE}=-(\vec{AB}+\vec{AD})+\frac12\vec{AD}=-\vec{AB}-\frac12\vec{AD}.$$

Вектор $$\vec{AC_1}$$ не выражается через $$\vec{AB}$$ и $$\vec{AD}$$, так как он не лежит в плоскости $$ABD$$.

Для вектора $$\vec{A_1N}$$ получаем:

$$\vec{A_1N}=0\cdot\vec{AB}+\frac12\vec{AD}.$$

Вектор $$\vec{AN}$$ также не выражается через $$\vec{AB}$$ и $$\vec{AD}$$, так как он не лежит в плоскости $$ABD$$.

Наконец,

$$\vec{AM}+\vec{MD}=\vec{AD},$$

откуда
$$\vec{MD}=\vec{AD}-\vec{AM}=\vec{AD}-\frac12\vec{AB}.$$

Ответ

$$\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{AD};$$
$$\vec{CM}=-\frac12\vec{AB}-\vec{AD};$$
$$\vec{C_1N}=-\vec{AB}-\frac12\vec{AD};$$
$$\vec{AC_1}$$ и $$\vec{AN}$$ разложить нельзя;
$$\vec{A_1N}=\frac12\vec{AD};$$
$$\vec{MD}=-\frac12\vec{AB}+\vec{AD}.$$