Упр.604 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. В тетраэдре $$ABCD$$ медиана $$AA_1$$ грани $$ABC$$ делится точкой $$K$$ так, что $$AK:KA_1=3:7$$. Разложите вектор $$\overrightarrow{DK}$$ по векторам $$\overrightarrow{DA}$$, $$\overrightarrow{DB}$$, $$\overrightarrow{DC}$$.

Так как $$AK:KA_1=3:7,$$ то

$$\overrightarrow{AK}=\frac{3}{7}\overrightarrow{KA_1}.$$

Из равенства $$\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{DK}$$ получаем

$$\overrightarrow{DK}=\overrightarrow{DA}+\frac{3}{7}\overrightarrow{KA_1}.$$

Но

$$\overrightarrow{KA_1}=\overrightarrow{DA_1}-\overrightarrow{DK},$$

поэтому

$$\overrightarrow{DK}=\overrightarrow{DA}+\frac{3}{7}\left(\overrightarrow{DA_1}-\overrightarrow{DK}\right).$$

Перенесём слагаемые с $$\overrightarrow{DK}$$ в одну сторону:

$$\overrightarrow{DK}\left(1+\frac{3}{7}\right)=\overrightarrow{DA}+\frac{3}{7}\overrightarrow{DA_1},$$

откуда

$$\overrightarrow{DK}=\frac{7}{10}\overrightarrow{DA}+\frac{3}{10}\overrightarrow{DA_1}.$$

Так как $$A_1$$ — середина стороны $$BC$$, то

$$\overrightarrow{DA_1}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}\right).$$

Тогда

$$\overrightarrow{DK}=\frac{7}{10}\overrightarrow{DA}+\frac{3}{10}\cdot\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}\right).$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{DK}=\frac{7}{10}\overrightarrow{DA}+\frac{3}{20}\overrightarrow{DB}+\frac{3}{20}\overrightarrow{DC}.$$

Ответ: $$\overrightarrow{DK}=\frac{7}{10}\overrightarrow{DA}+\frac{3}{20}\overrightarrow{DB}+\frac{3}{20}\overrightarrow{DC}.$$