Упр.603 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Докажите, что если M — точка пересечения медиан треугольника ABC, а 0 — произвольная точка пространства, то OM = I {OA. + OB + ОС). Решение По теореме о точке пересечения медиан треугольника AM = 2MA1, где AA1 — медиана треугольника ABC (рис. 117). Согласно за- o лс\ г\\я 0A + 20Ai OA + 20А1 тт даче 349 OM =-l- =-J-. Ho _ > _* 1+2 3 OA,=|(OB + OC) (объясните почему), поэтому OM = ОА + ОВ+ОС

Подробный ответ

Пусть $$A_1$$ — середина стороны $$BC$$, тогда $$AA_1$$ — медиана треугольника $$ABC$$, а точка $$M$$ делит медиану в отношении $$AM:MA_1=2:1$$.

По формуле деления отрезка в данном отношении получаем:

$$ \overrightarrow{OM}=\frac{\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OA_1}}{1+2} =\frac{\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OA_1}}{3}. $$

Так как $$A_1$$ — середина $$BC$$, то

$$ \overrightarrow{OA_1}=\frac{\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{2}. $$

Действительно, если взять точку $$O$$ за начало отсчёта, то радиус-вектор середины отрезка равен полусумме радиус-векторов его концов.

Подставим это выражение в формулу для $$\overrightarrow{OM}$$:

$$ \overrightarrow{OM} =\frac{\overrightarrow{OA}+2\cdot \frac{\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{2}}{3} =\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{3}. $$

Следовательно,

$$ \overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right). $$