Упр.603 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что если M — точка пересечения медиан треугольника ABC, а O — произвольная точка пространства, то $$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right).$$

Подробный ответ

Пусть $$A_1$$ — середина стороны $$BC$$, тогда $$AA_1$$ — медиана треугольника $$ABC$$, а точка $$M$$ — точка пересечения медиан. По свойству медиан

$$AM:MA_1=2:1,$$

значит,

$$\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MA_1}.$$

Тогда точка $$M$$ делит отрезок $$AA_1$$ в отношении $$2:1$$, и потому

$$\overrightarrow{OM}=\frac{\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OA_1}}{3}.$$

Осталось выразить $$\overrightarrow{OA_1}$$. Так как $$A_1$$ — середина $$BC$$, то

$$\overrightarrow{BA_1}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}.$$

Кроме того,

$$\overrightarrow{OA_1}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BA_1}.$$

Подставим:

$$\overrightarrow{OA_1}=\overrightarrow{OB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}.$$

Но

$$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB},$$

поэтому

$$\overrightarrow{OA_1}=\overrightarrow{OB}+\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}\right)=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right).$$

Тогда

$$\overrightarrow{OM}=\frac{\overrightarrow{OA}+2\cdot \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right)}{3} =\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right).$$

Что и требовалось доказать.