Упр.602 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Вне плоскости параллелограмма ABCD взята точка О. Точка M — середина AB, а точка K — середина MD. Разложите векторы OM и OK по векторам а = OA, b = OB, с = ОС.

Подробный ответ

Так как точка $$M$$ — середина $$AB$$, то

$$\overrightarrow{AM}=\frac12\overrightarrow{AB}.$$

Но в параллелограмме $$ABCD$$ имеем

$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}= \mathbf b-\mathbf a.$$

Тогда

$$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AM}=\mathbf a+\frac12(\mathbf b-\mathbf a)=\frac12\mathbf a+\frac12\mathbf b.$$

Теперь найдём $$\overrightarrow{OK}$$. Так как $$K$$ — середина $$MD$$, то

$$\overrightarrow{MK}=\frac12\overrightarrow{MD},$$

следовательно,

$$\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MK}=\overrightarrow{OM}+\frac12\overrightarrow{MD}.$$

Осталось выразить $$\overrightarrow{MD}$$ через $$\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c$$:

$$\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AD}.$$

Так как $$\overrightarrow{AM}=\frac12(\mathbf b-\mathbf a)$$, а в параллелограмме $$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}=\mathbf c-\mathbf b,$$ то

$$\overrightarrow{MD}=-\frac12(\mathbf b-\mathbf a)+(\mathbf c-\mathbf b)=\frac12\mathbf a-\frac32\mathbf b+\mathbf c.$$

Тогда

$$ \overrightarrow{OK} =\frac12\mathbf a+\frac12\mathbf b+\frac12\left(\frac12\mathbf a-\frac32\mathbf b+\mathbf c\right) =\frac34\mathbf a-\frac14\mathbf b+\frac12\mathbf c. $$