Упр.602 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Вне плоскости параллелограмма $$ABCD$$ взята точка $$O$$. Точка $$M$$ — середина $$AB$$, а точка $$K$$ — середина $$MD$$. Разложите векторы $$\overrightarrow{OM}$$ и $$\overrightarrow{OK}$$ по векторам $$\vec a=\overrightarrow{OA}$$, $$\vec b=\overrightarrow{OB}$$, $$\vec c=\overrightarrow{OC}$$.

Так как $$M$$ — середина $$AB$$, то

$$\overrightarrow{AM}=\frac12\overrightarrow{AB}.$$

Тогда

$$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AM}.$$

Но $$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\vec b-\vec a,$$ значит

$$\overrightarrow{OM}=\vec a+\frac12(\vec b-\vec a)=\frac12\vec a+\frac12\vec b.$$

Теперь найдём $$\overrightarrow{OK}$$. Так как $$K$$ — середина $$MD$$, то

$$\overrightarrow{KM}=\frac12\overrightarrow{DM},$$

и потому

$$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OK}+\overrightarrow{KM}=\overrightarrow{OK}+\frac12\overrightarrow{DM}.$$

Найдём $$\overrightarrow{DM}$$ через $$\vec a,\vec b,\vec c$$. В параллелограмме $$ABCD$$

$$\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}=\vec a-\vec b,$$

а также

$$\overrightarrow{BC}=\vec c-\vec b.$$

Из замкнутого контура $$DMCB$$ получаем:

$$\overrightarrow{DM}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\vec 0.$$

Так как $$M$$ — середина $$AB$$, то

$$\overrightarrow{MB}=\frac12\overrightarrow{AB}=\frac12(\vec b-\vec a).$$

Подставим:

$$\overrightarrow{DM}+\frac12(\vec b-\vec a)+(\vec c-\vec b)+(\vec a-\vec b)=\vec 0,$$

откуда

$$\overrightarrow{DM}=\frac32\vec b-\frac12\vec a-\vec c.$$

Тогда

$$\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OM}-\frac12\overrightarrow{DM}.$$

Подставим найденные выражения:

$$\overrightarrow{OK}=\left(\frac12\vec a+\frac12\vec b\right)-\frac12\left(\frac32\vec b-\frac12\vec a-\vec c\right).$$

После упрощения получаем

$$\overrightarrow{OK}=\frac34\vec a-\frac14\vec b+\frac12\vec c.$$

Ответ: $$\overrightarrow{OM}=\frac12\vec a+\frac12\vec b,\qquad \overrightarrow{OK}=\frac34\vec a-\frac14\vec b+\frac12\vec c.$$