Упр.601 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Точка K — середина ребра B1C1 куба ABCDAiBiCiDi. Разложите вектор AK по векторам а = AB, b = AD, с = AAi и найдите длину этого вектора, если ребро куба равно т.

Подробный ответ

Обозначим $$\vec a=\overrightarrow{AB},\quad \vec b=\overrightarrow{AD},\quad \vec c=\overrightarrow{AA_1}.$$

Тогда по правилу параллелограмма

$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\vec a+\vec b.$$

Так как точка $$K$$ — середина ребра $$B_1C_1,$$ то в верхнем основании куба

$$\overrightarrow{C_1K}=\frac12\,\overrightarrow{C_1B_1}=-\frac12\,\overrightarrow{AD}=-\frac12\,\vec b.$$

Кроме того, $$\overrightarrow{CC_1}=\overrightarrow{AA_1}=\vec c.$$

Следовательно,

$$ \overrightarrow{AK} =\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CC_1}+\overrightarrow{C_1K} =(\vec a+\vec b)+\vec c-\frac12\vec b =\vec a+\frac12\vec b+\vec c. $$

Найдём длину вектора $$\overrightarrow{AK}.$$ Пусть ребро куба равно $$m.$$ Тогда в прямоугольном треугольнике $$AA_1K$$ имеем

$$A_1K=\sqrt{A_1C_1^2+C_1K^2}=\sqrt{m^2+\left(\frac{m}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac54m^2}=\frac{\sqrt5}{2}m.$$

Теперь

$$ AK=\sqrt{AA_1^2+A_1K^2} =\sqrt{m^2+\frac54m^2} =\sqrt{\frac94m^2} =\frac32m. $$