Упр.601 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Точка $$K$$ — середина ребра $$B_1C_1$$ куба $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$. Разложите вектор $$\overrightarrow{AK}$$ по векторам $$\vec a=\overrightarrow{AB}$$, $$\vec b=\overrightarrow{AD}$$, $$\vec c=\overrightarrow{AA_1}$$ и найдите длину этого вектора, если ребро куба равно $$т$$.

Обозначим ребро куба через $$m$$. Тогда

$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\vec a+\vec b.$$

Так как $$K$$ — середина ребра $$B_1C_1$$, то

$$\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CC_1}+\overrightarrow{C_1K}.$$

При этом $$\overrightarrow{CC_1}=\overrightarrow{AA_1}=\vec c,$$ а

$$\overrightarrow{C_1K}=\frac{1}{2}\overrightarrow{C_1B_1}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}=-\frac{1}{2}\vec b.$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{AK}=\vec a+\vec b+\vec c-\frac{1}{2}\vec b=\vec a+\frac{1}{2}\vec b+\vec c.$$

Найдём длину вектора $$\overrightarrow{AK}$$. В прямоугольном треугольнике $$AA_1K$$ имеем

$$AA_1=m,$$

$$A_1K=\sqrt{m^2+\left(\frac{m}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{5}{4}m^2}=\frac{\sqrt5}{2}m.$$

Тогда

$$AK=\sqrt{AA_1^2+A_1K^2}=\sqrt{m^2+\frac{5}{4}m^2}=\sqrt{\frac{9}{4}m^2}=\frac{3}{2}m.$$

Ответ: $$\overrightarrow{AK}=\vec a+\frac{1}{2}\vec b+\vec c,\quad |\overrightarrow{AK}|=\frac{3}{2}m.$$