Упр.600 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Основанием пирамиды с вершиной $$O$$ является параллелограмм $$ABCD$$, диагонали которого пересекаются в точке $$M$$. Разложите векторы $$\overrightarrow{OD}$$ и $$\overrightarrow{OM}$$ по векторам $$\vec{a}=\overrightarrow{OA}$$, $$\vec{b}=\overrightarrow{OB}$$ и $$\vec{c}=\overrightarrow{OC}$$.

Так как $$ABCD$$ — параллелограмм, то его диагонали пересекаются и делятся пополам. Поэтому точка $$M$$ — середина диагонали $$AC$$.

Найдём разложение вектора $$\overrightarrow{OD}$$:

$$\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BD}$$

В параллелограмме $$ABCD$$

$$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}$$

Причём

$$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}= \vec c-\vec b,$$
$$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}= \vec a-\vec b.$$

Тогда

$$\overrightarrow{BD}=(\vec c-\vec b)+(\vec a-\vec b)=\vec a+\vec c-2\vec b.$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{OD}=\vec b-(\vec a+\vec c-2\vec b)=2\vec b-\vec a-\vec c.$$

Теперь найдём $$\overrightarrow{OM}$$. Так как $$M$$ — середина диагонали $$AC$$, то

$$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}\right) =\frac{1}{2}(\vec a+\vec c).$$

Ответ: $$\overrightarrow{OD}=2\vec b-\vec a-\vec c,\qquad \overrightarrow{OM}=\frac12\vec a+\frac12\vec c.$$