Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.6 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- В треугольнике $$ABC$$ проведены высоты $$BM$$ и $$CN$$, точка $$O$$ — центр вписанной в треугольник окружности. Известно, что $$BC=24$$, $$MN=12$$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $$BOC$$.
Так как $$BM \perp AC$$ и $$CN \perp AB,$$ то точки $$M$$ и $$N$$ — основания высот треугольника $$ABC$$. Следовательно, четырёхугольник $$AMCN$$ вписанный, а значит, углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны.
Рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$AMN.$$ Они подобны, так как $$\angle A$$ — общий, а $$\angle AMC = \angle ANM = 90^\circ.$$ Поэтому
$$\frac{AM}{AB}=\frac{MN}{BC}=\frac{12}{24}=\frac12.$$
Отсюда $$AM=\frac{AB}{2},$$ значит, в прямоугольном треугольнике $$ABM$$
$$\cos \angle BAM=\frac{AM}{AB}=\frac12,$$
то есть $$\angle BAM=60^\circ$$ или $$120^\circ.$$
Для центра вписанной окружности $$O$$ верно:
$$\angle BOC=90^\circ+\frac12\angle A.$$
Тогда возможны два случая.
1) Если $$\angle A=60^\circ,$$ то
$$\angle BOC=90^\circ+\frac12\cdot 60^\circ=120^\circ.$$
Радиус описанной около треугольника $$BOC$$ окружности находим по формуле
$$2R=\frac{BC}{\sin \angle BOC}.$$
Тогда
$$2R=\frac{24}{\sin 120^\circ}=\frac{24}{\frac{\sqrt3}{2}}=16\sqrt3,$$
$$R=8\sqrt3.$$
2) Если $$\angle A=120^\circ,$$ то
$$\angle BOC=90^\circ+\frac12\cdot 120^\circ=150^\circ.$$
Тогда
$$2R=\frac{24}{\sin 150^\circ}=\frac{24}{\frac12}=48,$$
$$R=24.$$
Ответ: $$24$$ или $$8\sqrt3.$$
