Подготовка к ЕГЭ Задание 8 Упр.6 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: В правильной шестиугольной призме ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 все рёбра равны 23. Найдите расстояние между точками D и F_1.

Рассмотрим треугольник $$FED$$ в основании правильной шестиугольной призмы. Так как основание — правильный шестиугольник, то

$$FE=ED=AB=23,$$

а угол между соседними сторонами правильного шестиугольника равен $$120^\circ$$, значит

$$\angle FED=120^\circ.$$

По теореме косинусов:

$$ FD^2=FE^2+ED^2-2\cdot FE\cdot ED\cos 120^\circ $$

$$ FD^2=23^2+23^2-2\cdot 23\cdot 23\cdot \left(-\frac12\right) $$

$$ FD^2=23^2+23^2+23^2=3\cdot 23^2. $$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$FDF_1$$. В правильной призме боковые рёбра перпендикулярны основанию, поэтому $$FF_1\perp FD$$, и треугольник $$FDF_1$$ прямоугольный.

Тогда по теореме Пифагора:

$$ DF_1^2=FD^2+FF_1^2. $$

Так как все рёбра призмы равны $$23$$, то $$FF_1=23$$. Следовательно,

$$ DF_1^2=3\cdot 23^2+23^2=4\cdot 23^2, $$

$$ DF_1=\sqrt{4\cdot 23^2}=2\cdot 23=46. $$

Ответ

$$46$$