Подготовка к ЕГЭ Задание 14 Упр.6 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- В правильной треугольной призме $$ABCA_1B_1C_1$$ все рёбра равны $$1$$. Найдите косинус угла между прямыми $$AB_1$$ и $$BC_1$$.
Обозначим через $$C_2$$ точку на продолжении ребра $$CC_1$$ так, что $$C_1C_2=CC_1=1$$. Тогда $$CC_2=2$$, а прямая $$B_1C_2$$ параллельна прямой $$BC_1$$, поэтому искомый угол равен $$\angle AB_1C_2$$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ACC_2$$:
$$AC_2=\sqrt{AC^2+CC_2^2}.$$
Так как основание призмы — равносторонний треугольник со стороной $$1$$, то $$AC=1$$. Следовательно,
$$AC_2=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5.$$
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABB_1$$:
$$B_1C_2=AB_1=\sqrt{AB^2+BB_1^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2.$$
Применим теорему косинусов к треугольнику $$AB_1C_2$$:
$$AC_2^2=AB_1^2+B_1C_2^2-2\cdot AB_1\cdot B_1C_2\cos\angle AB_1C_2.$$
Подставим найденные значения:
$$5=2+2-4\cos\angle AB_1C_2,$$
$$4\cos\angle AB_1C_2=-1,$$
$$\cos\angle AB_1C_2=\frac14.$$
Следовательно,
Ответ: $$\frac14$$.
