Подготовка к ЕГЭ Задание 8 Упр.6 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. В правильной шестиугольной призме $$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$$ все рёбра равны $$23$$. Найдите расстояние между точками $$D$$ и $$F_1$$.

В правильной шестиугольной призме основание — правильный шестиугольник, поэтому

$$FE=ED=AB=23,$$

а угол между соседними сторонами правильного шестиугольника равен $$120^\circ$$.

Найдём диагональ $$FD$$ в треугольнике $$FED$$ по теореме косинусов:

$$FD^2=FE^2+ED^2-2\cdot FE\cdot ED\cos 120^\circ$$

$$FD^2=23^2+23^2-2\cdot 23\cdot 23\cdot\left(-\frac12\right)$$

$$FD^2=3\cdot 23^2$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$DFF_1$$. Так как боковое ребро призмы перпендикулярно основанию, то $$FF_1=23$$ и

$$DF_1^2=FD^2+FF_1^2=3\cdot 23^2+23^2=4\cdot 23^2$$

$$DF_1=\sqrt{4\cdot 23^2}=2\cdot 23=46$$

Ответ: $$46$$.