Подготовка к ЕГЭ Задание 6 Упр.6 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. В треугольнике $$ABC$$ угол $$C$$ прямой, высота $$CH$$ равна $$7$$. Найдите $$\cos A$$, если $$BH=24$$.

В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ высота $$CH$$, опущенная на гипотенузу $$AB$$, делит её на отрезки $$AH$$ и $$BH$$. Для такого треугольника верно:

$$CH^2=AH\cdot BH.$$

Тогда

$$AH=\frac{CH^2}{BH}=\frac{7^2}{24}=\frac{49}{24}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ACH$$. В нём

$$\tg A=\frac{CH}{AH}=\frac{7}{49/24}=\frac{24}{7}.$$

Теперь найдём косинус угла $$A$$ по формуле

$$\cos A=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2 A}}.$$

Подставим значение:

$$\cos A=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{24}{7}\right)^2}} =\frac{1}{\sqrt{1+\frac{576}{49}}} =\frac{1}{\sqrt{\frac{625}{49}}} =\frac{7}{25}.$$

Ответ: $$\frac{7}{25}$$.