Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.6 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: В треугольнике АВС проведены высоты ВМ и CN, точка О — центр вписанной в треугольник окружности. Известно, что ВС=24, MN=12. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ВОС.

Для вписанной окружности в треугольнике $$BOC$$ имеем

$$\angle BOC=180^\circ-\frac12\left(180^\circ-\angle BAC\right)=90^\circ+\frac12\angle BAC.$$

Рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$AMN$$. Они подобны, так как $$MN \parallel BC$$, а $$AM \subset AC$$, $$AN \subset AB$$.

Тогда

$$\frac{AM}{AB}=\frac{MN}{BC}=\frac{12}{24}=\frac12.$$

Значит,

$$\cos \angle BAM=\frac{AM}{AB}=\frac12,$$

откуда возможны два случая:

$$\angle BAM=60^\circ \quad \text{или} \quad \angle BAM=120^\circ.$$

Так как луч $$AM$$ лежит на стороне $$AC$$, то $$\angle BAM=\angle BAC$$ или $$\angle BAM=180^\circ-\angle BAC$$. Поэтому получаем два варианта для угла $$\angle BAC$$:

$$\angle BAC=60^\circ \quad \text{или} \quad \angle BAC=120^\circ.$$

Тогда

$$\angle BOC=90^\circ+\frac12\cdot 60^\circ=120^\circ$$

или

$$\angle BOC=90^\circ+\frac12\cdot 120^\circ=150^\circ.$$

Теперь найдём радиус описанной около треугольника $$BOC$$ окружности по формуле

$$2R=\frac{BC}{\sin \angle BOC}.$$

1) Если $$\angle BOC=120^\circ$$, то

$$2R=\frac{24}{\sin 120^\circ}=\frac{24}{\frac{\sqrt3}{2}}=16\sqrt3,$$

$$R=8\sqrt3.$$

2) Если $$\angle BOC=150^\circ$$, то

$$2R=\frac{24}{\sin 150^\circ}=\frac{24}{\frac12}=48,$$

$$R=24.$$

Ответ

$$24$$ или $$8\sqrt3$$.