Упр.599 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Точка K — середина ребра BC тетраэдра ABCD. Разложите вектор DK по векторам а = DA, b = AB и с = AC. Решение Так как точка K — середина отрезка ВС, то DK = i (DB + DC). Ho DB = DA + AB — а + b, DC = DA + AC = а + с. Поэтому DK = — (а + b + а + с) = а + i b + i с.

Подробный ответ

Так как $$BK=KC,$$ то точка $$K$$ — середина отрезка $$BC.$$ Следовательно, вектор $$\overrightarrow{DK}$$ равен полусумме векторов $$\overrightarrow{DB}$$ и $$\overrightarrow{DC}:$$

$$\overrightarrow{DK}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}\right).$$

Выразим $$\overrightarrow{DB}$$ и $$\overrightarrow{DC}$$ через данные векторы $$\vec a=\overrightarrow{DA},\ \vec b=\overrightarrow{AB},\ \vec c=\overrightarrow{AC}:$$

$$\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}=\vec a+\vec b,$$

$$\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC}=\vec a+\vec c.$$

Подставим в найденную формулу:

$$ \overrightarrow{DK} =\frac{1}{2}\bigl((\vec a+\vec b)+(\vec a+\vec c)\bigr) =\frac{1}{2}(2\vec a+\vec b+\vec c) =\vec a+\frac{1}{2}\vec b+\frac{1}{2}\vec c. $$