Упр.597 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- В вершинах $$A_1$$, $$B_1$$ и $$D_1$$ куба $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$, ребро которого равно $$a$$, помещены точечные заряды $$q$$.
а) Выразите результирующую напряжённость создаваемого ими электрического поля в точках $$A$$ и $$C_1$$ через вектор $$\overrightarrow{AC_1}$$.
б) Найдите абсолютную величину результирующей напряжённости в точках $$C$$, $$B_1$$, в центре грани $$A_1B_1C_1D_1$$ и в центре куба.
Пусть в вершинах $$A_1$$, $$B$$ и $$D$$ куба $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ со стороной $$a$$ находятся одинаковые заряды $$q$$. Тогда напряжённость поля от одного заряда на расстоянии $$r$$ равна $$\dfrac{kq}{r^2}$$ и направлена вдоль соответствующего радиус-вектора.
а)
Найдём результирующую напряжённость в точке $$A$$:
$$\vec E_A=\frac{kq}{A_1A^3}\overrightarrow{A_1A}+\frac{kq}{BA^3}\overrightarrow{BA}+\frac{kq}{DA^3}\overrightarrow{DA} =\frac{kq}{a^3}\left(\overrightarrow{A_1A}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DA}\right).$$
Так как
$$\overrightarrow{A_1A}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DA}=-\overrightarrow{AA_1}-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{AC_1},$$
то
$$\vec E_A=-\frac{kq}{a^3}\overrightarrow{AC_1}.$$
Теперь найдём напряжённость в точке $$C_1$$:
$$\vec E_{C_1}=\frac{kq}{A_1C_1^3}\overrightarrow{A_1C_1}+\frac{kq}{BC_1^3}\overrightarrow{BC_1}+\frac{kq}{DC_1^3}\overrightarrow{DC_1}.$$
Здесь $$A_1C_1=BC_1=DC_1=a\sqrt2$$, поэтому
$$\vec E_{C_1}=\frac{kq}{2\sqrt2\,a^3}\left(\overrightarrow{A_1C_1}+\overrightarrow{BC_1}+\overrightarrow{DC_1}\right).$$
Сумма этих векторов равна $$2\overrightarrow{AC_1}$$, значит
$$\vec E_{C_1}=\frac{\sqrt2\,kq}{2a^3}\overrightarrow{AC_1}.$$
б)
В точке $$C$$:
$$\vec E_C=\frac{kq}{A_1C^3}\overrightarrow{A_1C}+\frac{kq}{BC^3}\overrightarrow{BC}+\frac{kq}{DC^3}\overrightarrow{DC}.$$
Так как
$$A_1C=\sqrt{A_1A^2+AC^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt3,$$
то после разложения по направлениям рёбер куба получаем
$$|\vec E_C|=\frac{kq}{3a^2}\sqrt{19+4\sqrt3}.$$
В точке $$B_1$$ по симметрии получается то же значение:
$$|\vec E_{B_1}|=\frac{kq}{3a^2}\sqrt{19+4\sqrt3}.$$
В центре грани $$A_1B_1C_1D_1$$ обозначим точку $$O_1$$. Тогда
$$|\vec E_{O_1}|=\frac{2kq}{9a^2}\sqrt{105}.$$
В центре куба $$O$$:
$$A_1O=BO=DO=a\sqrt{\frac34}.$$
По симметрии результирующая напряжённость направлена вдоль диагонали и равна
$$|\vec E_O|=\frac{4kq}{3a^2}.$$
Ответ: а) $$\vec E_A=-\dfrac{kq}{a^3}\overrightarrow{AC_1},\quad \vec E_{C_1}=\dfrac{\sqrt2\,kq}{2a^3}\overrightarrow{AC_1}$$; б) $$|\vec E_C|=|\vec E_{B_1}|=\dfrac{kq}{3a^2}\sqrt{19+4\sqrt3},\quad |\vec E_{O_1}|=\dfrac{2kq}{9a^2}\sqrt{105},\quad |\vec E_O|=\dfrac{4kq}{3a^2}.$$
