Упр.595 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Дан параллелепипед $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов:

а) $$AB+AD+AA_1$$;

б) $$DA+DC+DD_1$$;

в) $$A_1B_1+C_1B_1+BB_1$$;

г) $$A_1A+A_1D_1+AB$$;

д) $$B_1A_1+BB_1+BC$$.

Используем правило сложения векторов в параллелепипеде: равные и параллельные векторы можно заменять друг другом, а сумма последовательных векторов даёт вектор от начала первого к концу последнего.

а) $$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$$, поэтому

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{AC_1}.$$

б) $$\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DB},$$ значит

$$\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DD_1}=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DD_1}=\overrightarrow{DB_1}.$$

в) Так как $$\overrightarrow{A_1B_1}=\overrightarrow{DC},\quad \overrightarrow{C_1B_1}=\overrightarrow{DA},\quad \overrightarrow{BB_1}=\overrightarrow{DD_1},$$ то

$$\overrightarrow{A_1B_1}+\overrightarrow{C_1B_1}+\overrightarrow{BB_1}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DD_1}=\overrightarrow{DB_1}.$$

г) Заменим $$\overrightarrow{AB}$$ на равный ему вектор $$\overrightarrow{A_1B_1}$$:

$$\overrightarrow{A_1A}+\overrightarrow{A_1D_1}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{A_1A}+\overrightarrow{A_1D_1}+\overrightarrow{A_1B_1}=\overrightarrow{A_1C}.$$

д) Так как $$\overrightarrow{B_1A_1}=\overrightarrow{BA},\quad \overrightarrow{BB_1}=\overrightarrow{AA_1},\quad \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD},$$ то

$$\overrightarrow{B_1A_1}+\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BD_1}.$$

Ответ: а) $$\overrightarrow{AC_1}$$; б) $$\overrightarrow{DB_1}$$; в) $$\overrightarrow{DB_1}$$; г) $$\overrightarrow{A_1C}$$; д) $$\overrightarrow{BD_1}$$.