Упр.594 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Даны параллелограммы \(ABCD\) и \(AB_1C_1D_1\). Докажите, что векторы $$\overrightarrow{BB_1}$$, $$\overrightarrow{CC_1}$$ и $$\overrightarrow{DD_1}$$ компланарны.

Рассмотрим вектор $$\overrightarrow{CC_1}$$. Его можно представить как сумму векторов, идущих по ломаной $$C D D_1 C_1$$:

$$\overrightarrow{CC_1}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DD_1}+\overrightarrow{D_1C_1}.$$

Так как $$ABCD$$ и $$AB_1C_1D_1$$ — параллелограммы, то противоположные стороны равны и параллельны. Поэтому

$$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}, \qquad \overrightarrow{D_1C_1}=\overrightarrow{AB_1}.$$

Тогда

$$\overrightarrow{CC_1}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DD_1}+\overrightarrow{AB_1}.$$

Сгруппируем слагаемые:

$$\overrightarrow{CC_1}=\overrightarrow{DD_1}+\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AB_1}\right).$$

Но

$$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AB_1}=\overrightarrow{BB_1},$$

значит

$$\overrightarrow{CC_1}=\overrightarrow{DD_1}+\overrightarrow{BB_1}.$$

Следовательно, векторы $$\overrightarrow{BB_1}$$, $$\overrightarrow{CC_1}$$ и $$\overrightarrow{DD_1}$$ линейно зависимы, а значит, компланарны.