Упр.593 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Точки $$E$$ и $$F$$ — середины рёбер $$AC$$ и $$BD$$ тетраэдра $$ABCD$$. Докажите, что $$2FE-BA+DC$$. Компланарны ли векторы $$FE$$, $$BA$$ и $$DC$$?

Так как $$E$$ — середина ребра $$AC$$, а $$F$$ — середина ребра $$BD$$, то

$$\overrightarrow{CE}=-\overrightarrow{AE}, \qquad \overrightarrow{FD}=-\overrightarrow{FB}.$$

Рассмотрим вектор $$\overrightarrow{FE}$$:

$$\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{FD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CE}.$$

С другой стороны,

$$\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AE}.$$

Сложим эти два выражения:

$$2\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{FD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AE}.$$

Так как $$\overrightarrow{FD}=-\overrightarrow{FB}$$ и $$\overrightarrow{CE}=-\overrightarrow{AE}$$, то

$$2\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}.$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{FE}=\frac12\overrightarrow{BA}+\frac12\overrightarrow{DC}.$$

Значит, вектор $$\overrightarrow{FE}$$ выражается через векторы $$\overrightarrow{BA}$$ и $$\overrightarrow{DC}$$, то есть эти три вектора компланарны.

Ответ: $$2\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}$$; да, компланарны.