Упр.592 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Какие из следующих трех векторов компланарны: а) AA1, CC1, BB1; б) AB, AD, AA1; в) B^B, AC, DD1; г) AD, CC^, лД?

Рассмотрим каждый случай.

а) Векторы $$\overrightarrow{AA_1},\ \overrightarrow{BB_1},\ \overrightarrow{CC_1}$$ параллельны между собой, так как $$AA_1 \parallel BB_1 \parallel CC_1$$. Значит, они лежат в одной плоскости и являются компланарными.

б) Векторы $$\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AD},\ \overrightarrow{AA_1}$$ не компланарны, так как $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{AD}$$ лежат в плоскости основания $$ABCD$$, а вектор $$\overrightarrow{AA_1}$$ не лежит в этой плоскости.

в) Векторы $$\overrightarrow{BB_1},\ \overrightarrow{AC},\ \overrightarrow{DD_1}$$ компланарны. Действительно, перенесём векторы $$\overrightarrow{BB_1}$$ и $$\overrightarrow{DD_1}$$ к точкам $$A$$ и $$C$$ соответственно. Тогда получим векторы, равные $$\overrightarrow{AA_1}$$ и $$\overrightarrow{CC_1}$$. Все они лежат в плоскости $$AA_1C$$, следовательно, исходные векторы компланарны.

г) Векторы $$\overrightarrow{AD},\ \overrightarrow{CC_1},\ \overrightarrow{A_1B_1}$$ не компланарны. Если перенести их к одной точке, то получим векторы $$\overrightarrow{AD},\ \overrightarrow{AA_1},\ \overrightarrow{AB}$$, а они не лежат в одной плоскости.

Ответ

Компланарны векторы в случаях а) и в).