Упр.592 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Дан параллелепипед $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$. Какие из следующих трёх векторов компланарны: а) $$\overrightarrow{AA_1},\ \overrightarrow{CC_1},\ \overrightarrow{BB_1}$$; б) $$\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AD},\ \overrightarrow{AA_1}$$; в) $$\overrightarrow{B^B},\ \overrightarrow{AC},\ \overrightarrow{DD_1}$$; г) $$\overrightarrow{AD},\ \overrightarrow{CC^},\ \overrightarrow{лД}$$?

Подробный ответ

Рассмотрим каждый случай.

$$\overrightarrow{AA_1},\ \overrightarrow{BB_1},\ \overrightarrow{CC_1}$$ — параллельны, так как $$AA_1 \parallel BB_1 \parallel CC_1$$. Значит, они компланарны.
$$\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AD},\ \overrightarrow{AA_1}$$ — не компланарны, так как векторы $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{AD}$$ лежат в плоскости основания $$ABCD$$, а $$\overrightarrow{AA_1}$$ не лежит в этой плоскости.
$$\overrightarrow{B_1B},\ \overrightarrow{AC},\ \overrightarrow{DD_1}$$ — компланарны. Действительно, $$\overrightarrow{B_1B} \parallel \overrightarrow{AA_1}$$ и $$\overrightarrow{DD_1} \parallel \overrightarrow{AA_1}$$, поэтому все три вектора можно расположить в одной плоскости, содержащей $$\overrightarrow{AC}$$ и направление боковых рёбер параллелепипеда.
$$\overrightarrow{AD},\ \overrightarrow{CC_1},\ \overrightarrow{A_1B_1}$$ — не компланарны, так как $$\overrightarrow{CC_1} \parallel \overrightarrow{AA_1}$$ и $$\overrightarrow{A_1B_1} \parallel \overrightarrow{AB}$$, а векторы $$\overrightarrow{AB}$$, $$\overrightarrow{AD}$$ и $$\overrightarrow{AA_1}$$ не лежат в одной плоскости.

Ответ: а) и в).