Упр.591 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что если векторы $$\mathbf{a}+\mathbf{b}$$ и $$\mathbf{a}-\mathbf{b}$$ не коллинеарны, то не коллинеарны и векторы: а) $$\mathbf{a}$$ и $$\mathbf{b}$$; б) $$\mathbf{a}+2\mathbf{b}$$ и $$2\mathbf{a}-\mathbf{b}$$.

а) Докажем от противного. Пусть векторы $$\vec a$$ и $$\vec b$$ коллинеарны. Тогда существует число $$k$$ такое, что $$\vec a=k\vec b$$. Следовательно,

$$\vec a+\vec b=k\vec b+\vec b=(k+1)\vec b,$$

$$\vec a-\vec b=k\vec b-\vec b=(k-1)\vec b.$$

Значит, векторы $$\vec a+\vec b$$ и $$\vec a-\vec b$$ коллинеарны, что противоречит условию. Следовательно, $$\vec a$$ и $$\vec b$$ не коллинеарны.

б) Докажем от противного. Пусть векторы $$\vec a+2\vec b$$ и $$2\vec a-\vec b$$ коллинеарны. Тогда существует число $$k$$ такое, что

$$\vec a+2\vec b=k(2\vec a-\vec b).$$

Перенесём слагаемые:

$$\vec a+2\vec b=2k\vec a-k\vec b,$$

$$2\vec b+k\vec b=2k\vec a-\vec a,$$

$$(2+k)\vec b=(2k-1)\vec a.$$

Отсюда

$$\vec a=\frac{k+2}{2k-1}\vec b.$$

Тогда векторы $$\vec a$$ и $$\vec b$$ коллинеарны, а значит, коллинеарны и векторы $$\vec a+\vec b$$ и $$\vec a-\vec b$$. Это противоречит условию. Следовательно, векторы $$\vec a+2\vec b$$ и $$2\vec a-\vec b$$ не коллинеарны.