Упр.590 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Векторы $$a+2b$$ и $$a-3b$$ коллинеарны. Докажите, что векторы $$a$$ и $$b$$ коллинеарны.

Так как векторы $$\vec a+2\vec b$$ и $$\vec a-3\vec b$$ коллинеарны, то существует число $$k$$ такое, что

$$\vec a+2\vec b=k(\vec a-3\vec b).$$

Раскроем скобки и перенесём слагаемые:

$$\vec a+2\vec b=k\vec a-3k\vec b,$$

$$\vec a-k\vec a=-3k\vec b-2\vec b,$$

$$(1-k)\vec a=-(3k+2)\vec b.$$

Если $$1-k\neq 0$$, то

$$\vec a=\frac{3k+2}{k-1}\vec b,$$

то есть векторы $$\vec a$$ и $$\vec b$$ коллинеарны.

Если же $$1-k=0$$, то $$k=1$$, и из равенства $$\vec a+2\vec b=\vec a-3\vec b$$ получаем $$5\vec b=\vec 0$$, значит $$\vec b=\vec 0$$. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору, следовательно, и в этом случае векторы $$\vec a$$ и $$\vec b$$ коллинеарны.

Таким образом, векторы $$\vec a$$ и $$\vec b$$ коллинеарны.