Упр.59 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Решение
Проведем в плоскости а две пересекающиеся прямые а и b, а через точку A проведем прямые O1 и Ьи соответственно параллельные прямым а и b. Рассмотрим плоскость p, проходящую через прямые а, и ft,.
Плоскость p — искомая, так как она проходит через точку A и по признаку параллельности двух плоскостей параллельна плоскости а.
Докажем теперь, что P — единственная плоскость, проходящая через данную точку A и параллельная плоскости а. B самом деле, любая другая плоскость, проходящая через точку А, пересекает плоскость p, поэтому пересекает и параллельную ей плоскость а (задача 58). *Текст задания приводится исключительно в образовательных целях для более полного понимания решения. 10-11 atan10_11 new/59 106
Проведём в плоскости $$\alpha$$ две пересекающиеся прямые $$a$$ и $$b$$. Через точку $$A$$, не лежащую в плоскости $$\alpha$$, проведём прямые $$a_1$$ и $$b_1$$, соответственно параллельные прямым $$a$$ и $$b$$.
Рассмотрим плоскость $$\beta$$, проходящую через прямые $$a_1$$ и $$b_1$$. Плоскость $$\beta$$ существует, так как прямые $$a_1$$ и $$b_1$$ пересекаются в точке $$A$$.
По признаку параллельности двух плоскостей, если в одной плоскости лежат две пересекающиеся прямые, соответственно параллельные двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Значит, $$\beta \parallel \alpha$$.
Осталось доказать единственность. Пусть существует другая плоскость $$\beta’$$, проходящая через точку $$A$$ и параллельная плоскости $$\alpha$$. Тогда плоскости $$\beta$$ и $$\beta’$$ обе проходят через точку $$A$$ и параллельны одной и той же плоскости $$\alpha$$. Если бы $$\beta’ \ne \beta$$, то они пересекались бы по прямой, а значит, через точку $$A$$ проходили бы две различные плоскости, параллельные $$\alpha$$, что невозможно. Следовательно, такая плоскость единственна.
Итак, через точку $$A$$, не лежащую в плоскости $$\alpha$$, проходит и притом только одна плоскость, параллельная плоскости $$\alpha$$.
