Упр.589 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Векторы $$a+b$$ и $$a-b$$ коллинеарны. Докажите, что векторы $$a$$ и $$b$$ коллинеарны.

Так как векторы $$\vec a+\vec b$$ и $$\vec a-\vec b$$ коллинеарны, то существует число $$k$$ такое, что

$$\vec a+\vec b=k(\vec a-\vec b).$$

Раскроем скобки:

$$\vec a+\vec b=k\vec a-k\vec b.$$

Перенесём слагаемые с $$\vec b$$ влево, а с $$\vec a$$ вправо:

$$\vec b+k\vec b=k\vec a-\vec a.$$

Тогда

$$(1+k)\vec b=(k-1)\vec a.$$

Если $$1+k\neq 0$$, то

$$\vec a=\frac{1+k}{k-1}\vec b,$$

то есть векторы $$\vec a$$ и $$\vec b$$ коллинеарны.

Если же $$1+k=0$$, то из равенства $$(1+k)\vec b=(k-1)\vec a$$ получаем $$-2\vec a=\vec 0,$$ значит $$\vec a=\vec 0$$, а нулевой вектор коллинеарен любому вектору. Следовательно, и в этом случае $$\vec a$$ и $$\vec b$$ коллинеарны.

Ответ: векторы $$\vec a$$ и $$\vec b$$ коллинеарны.