Упр.588 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Векторы $$\vec{a}$$ и $$\vec{c}$$, а также $$\vec{b}$$ и $$\vec{c}$$ коллинеарны. Докажите, что коллинеарны векторы: а) $$\vec{a}+\vec{b}$$ и $$\vec{c}$$; б) $$\vec{a}-\vec{b}$$ и $$\vec{c}$$; в) $$\vec{a}+3\vec{b}$$ и $$\vec{c}$$; г) $$-\vec{a}+2\vec{b}$$ и $$\vec{c}$$.

Так как векторы $$\vec a$$ и $$\vec c$$, а также $$\vec b$$ и $$\vec c$$ коллинеарны, то существуют числа $$k$$ и $$n$$ такие, что

$$\vec a=k\vec c,\qquad \vec b=n\vec c.$$

Тогда:

1. $$\vec a+\vec b=k\vec c+n\vec c=(k+n)\vec c,$$ значит, $$\vec a+\vec b$$ коллинеарен $$\vec c$$.
2. $$\vec a-\vec b=k\vec c-n\vec c=(k-n)\vec c,$$ значит, $$\vec a-\vec b$$ коллинеарен $$\vec c$$.
3. $$\vec a+3\vec b=k\vec c+3n\vec c=(k+3n)\vec c,$$ значит, $$\vec a+3\vec b$$ коллинеарен $$\vec c$$.
4. $$-\vec a+2\vec b=-k\vec c+2n\vec c=(2n-k)\vec c,$$ значит, $$-\vec a+2\vec b$$ коллинеарен $$\vec c$$.

Следовательно, во всех случаях указанные векторы коллинеарны вектору $$\vec c$$.