Упр.586 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Три точки А, B и M удовлетворяют условию AM = X ¦ MB, где X # -1. Докажите, что эти точки лежат на одной прямой и для любои точки O пространства выполняется равенство OM =-. 1 + A Решение Из равенства AM = X ¦ MB следует, что векторы AM и MB кол-линеарны, поэтому прямые AM и MB либо параллельны, либо совпадают. Так как эти прямые имеют общую точку M, то они совпадают, и, следовательно, точки А, B и M лежат на одной прямой. Поскольку AM=OM-OA,MB = OB-OM, то из равенства AM = X ¦ MB имеем OM — OA = X (OB — ОМ), или (1 + X) OM = OA + X ¦ OB. Отсюда, разделив на 1 + X, получаем искомое равенство.
Из равенства $$\overrightarrow{AM}=\lambda \cdot \overrightarrow{MB}$$ следует, что векторы $$\overrightarrow{AM}$$ и $$\overrightarrow{MB}$$ коллинеарны. Значит, прямые $$AM$$ и $$MB$$ либо параллельны, либо совпадают.
Но эти прямые имеют общую точку $$M$$, следовательно, они совпадают. Поэтому точки $$A$$, $$B$$ и $$M$$ лежат на одной прямой.
Теперь выразим векторы через радиус-векторы точки $$O$$:
$$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OA}, \qquad \overrightarrow{MB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OM}.$$
Подставим это в данное равенство:
$$\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OA}=\lambda\left(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OM}\right).$$
Раскроем скобки и перенесём слагаемые:
$$\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OA}=\lambda \overrightarrow{OB}-\lambda \overrightarrow{OM},$$
$$\left(1+\lambda\right)\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\lambda \overrightarrow{OB}.$$
Так как $$\lambda\ne -1$$, то можно разделить на $$1+\lambda$$:
$$\overrightarrow{OM}=\frac{\overrightarrow{OA}+\lambda \cdot \overrightarrow{OB}}{1+\lambda}.$$
Ответ
Точки $$A$$, $$B$$ и $$M$$ лежат на одной прямой, и для любой точки $$O$$ пространства выполняется равенство
$$\overrightarrow{OM}=\frac{\overrightarrow{OA}+\lambda \cdot \overrightarrow{OB}}{1+\lambda}.$$