Упр.586 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Три точки \(A\), \(B\) и \(M\) удовлетворяют условию $$AM=\lambda\cdot MB,$$ где $$\lambda\ne-1.$$ Докажите, что эти точки лежат на одной прямой и для любой точки \(O\) пространства выполняется равенство.
Из равенства $$\overrightarrow{AM}=\lambda \overrightarrow{MB}$$ следует, что векторы $$\overrightarrow{AM}$$ и $$\overrightarrow{MB}$$ коллинеарны. Значит, прямые $$AM$$ и $$MB$$ либо параллельны, либо совпадают.
Но эти прямые имеют общую точку $$M$$, поэтому они совпадают. Следовательно, точки $$A$$, $$B$$ и $$M$$ лежат на одной прямой.
Теперь выразим векторы через радиус-векторы точки $$O$$:
$$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OA}, \qquad \overrightarrow{MB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OM}.$$
Подставим это в данное равенство:
$$\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OA}=\lambda\left(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OM}\right).$$
Раскроем скобки и перенесём слагаемые:
$$\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OA}=\lambda\overrightarrow{OB}-\lambda\overrightarrow{OM},$$
$$\left(1+\lambda\right)\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\lambda\overrightarrow{OB}.$$
Так как $$\lambda\ne -1$$, делим на $$1+\lambda$$:
$$\overrightarrow{OM}=\frac{\overrightarrow{OA}+\lambda\overrightarrow{OB}}{1+\lambda}.$$
Ответ: точки $$A$$, $$B$$ и $$M$$ лежат на одной прямой, а для любой точки $$O$$ пространства
$$\overrightarrow{OM}=\frac{\overrightarrow{OA}+\lambda\overrightarrow{OB}}{1+\lambda}.$$
