Упр.585 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Докажите.чтовпараллелепипедеАВСДА^С^ AC1+B1D = 2BC.

Обозначим через $$\vec{AD}$$, $$\vec{BC}$$, $$\vec{B_1A}$$, $$\vec{C_1D}$$ соответствующие векторы параллелепипеда.

Так как $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ — параллелепипед, то противоположные рёбра равны и параллельны. Поэтому

$$\vec{AD}=\vec{BC}.$$

Кроме того, в параллелепипеде рёбра $$B_1A$$ и $$C_1D$$ равны и параллельны, значит

$$\vec{B_1A}=\vec{C_1D}=-\vec{DC_1}.$$

Теперь выразим нужные векторы через сумму:

$$\vec{B_1D}=\vec{B_1A}+\vec{AD},$$

$$\vec{AC_1}=\vec{AD}+\vec{DC_1}.$$

Сложим эти равенства:

$$ \vec{AC_1}+\vec{B_1D} =(\vec{AD}+\vec{DC_1})+(\vec{B_1A}+\vec{AD}) =2\vec{AD}+\vec{DC_1}+\vec{B_1A}. $$

Подставим $$\vec{B_1A}=-\vec{DC_1}$$ и $$\vec{AD}=\vec{BC}$$:

$$ \vec{AC_1}+\vec{B_1D} =2\vec{AD} =2\vec{BC}. $$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$\vec{AC_1}+\vec{B_1D}=2\vec{BC}.$$