Упр.585 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Докажите, что в параллелепипеде $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ $$\overrightarrow{AC_1}+\overrightarrow{B_1D}=2\overrightarrow{BC}$$.

Пусть $$ABCD A_1B_1C_1D_1$$ — параллелепипед. Тогда противоположные рёбра равны и параллельны, поэтому

$$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC},$$

а также

$$\overrightarrow{B_1A}=\overrightarrow{C_1D}=-\overrightarrow{DC_1}.$$

Рассмотрим сумму векторов:

$$\overrightarrow{AC_1}+\overrightarrow{B_1D}.$$

Разложим её по правилу треугольника:

$$\overrightarrow{B_1D}=\overrightarrow{B_1A}+\overrightarrow{AD},$$

$$\overrightarrow{AC_1}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC_1}.$$

Тогда

$$\overrightarrow{AC_1}+\overrightarrow{B_1D} =\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC_1}\right)+\left(\overrightarrow{B_1A}+\overrightarrow{AD}\right) =2\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC_1}+\overrightarrow{B_1A}.$$

Так как $$\overrightarrow{B_1A}=-\overrightarrow{DC_1},$$ то

$$\overrightarrow{AC_1}+\overrightarrow{B_1D} =2\overrightarrow{AD} =2\overrightarrow{BC}.$$

Что и требовалось доказать.